二次函數(shù)那部分我一點不懂！學霸們給我指點指點可好？

二次函數(shù)定義
　　一般地，我們把形如y=ax^2+bx+c（其中a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中a稱為二次項系數(shù)，b為一次項系數(shù)，c為常數(shù)項。x為自變量，y為因變量。等號右邊自變量的最高次數(shù)是2。注意：“變量”不同于“未知數(shù)”，不能說“二次函數(shù)是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項式函數(shù)”?！拔粗獢?shù)”只是一個數(shù)（具體值未知，但是只取一個值），“變量”可在一定范圍內任意取值。在方程中適用“未知數(shù)”的概念（函數(shù)方程、微分方程中是未知函數(shù)，但不論是未知數(shù)還是未知函數(shù)，一般都表示一個數(shù)或函數(shù)——也會遇到特殊情況），但是函數(shù)中的字母表示的是變量，意義已經有所不同。從函數(shù)的定義也可看出二者的差別.如同函數(shù)不等于函數(shù)關系。二次函數(shù)的幾種表達式
一般式
　　y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù))， 頂點坐標為 [-b/2a,(4ac-b^2)/4a]
　　把三個點代入式子得出一個三元一次方程組，就能解出a、b、c的值。
頂點式
　　y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k為常數(shù)),頂點坐標為（h,k），對稱軸為x=h，頂點的位置特征和圖像的開口方向與函數(shù)y=ax^2的圖像相同，有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點式交點式
　　y=a(x-x)(x-x) (a≠0) [僅限于與x軸即y=0有交點A（x，0）和 B（x，0）的拋物線，即b^2-4ac≥0] .
已知拋物線與x軸即y=0有交點A（x，0）和 B（x，0）,我們可設y=a(x-x)(x-x),然后把第三點代入x、y中便可求出a。由一般式變?yōu)榻稽c式的步驟：　　X1+x2=-b/a x1·x2=c/a
　　y=ax^2+bx+c
　　=a（x^2+b/ax+c/a）
　　=a[﹙x^2-(x+x2)x+x1x2. =a(x-x1)(x-x2)
　　重要概念：a，b，c為常數(shù)，a≠0，且a決定函數(shù)的開口方向。a>0時，開口方向向上；a<0時，開口方向向下。a的絕對值可以決定開口大小。a的絕對值越大開口就越小，a的絕對值越小開口就越大。
　　二次函數(shù)圖像與X軸交點的情況
　　當=b^2-4ac>0時，函數(shù)圖像與x軸有兩個交點。
　　當=b^2-4ac=0時，函數(shù)圖像與x軸只有一個交點。
　　當=b^2-4ac<0時，函數(shù)圖像與x軸沒有交點。
二次函數(shù)圖像
　　在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖像，可以看出，二次函數(shù)的圖像是一條永無止境的拋物線。 如果所畫圖形準確無誤，那么二次函數(shù)圖像將是由一般式平移得到的。
　　注意：草圖要有 :
　　1. 本身圖像，旁邊注明函數(shù)?！　?. 畫出對稱軸，并注明直線X=什么 （X= -b/2a）　　3. 與X軸交點坐標 （x1,y1);(x2, y2)，與Y軸交點坐標(0,c)，
頂點坐標(-b/2a, (4ac-b^2/4a).
軸對稱
　　二次函數(shù)圖像是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a　　
對稱軸與二次函數(shù)圖像唯一的交點為二次函數(shù)圖像的頂點P。
　　特別地，當b=0時，二次函數(shù)圖像的對稱軸是y軸（即直線x=0）。
　　a,b同號，對稱軸在y軸左側
　　b=0,對稱軸是y軸
　　a,b異號，對稱軸在y軸右側
頂點
　　二次函數(shù)圖像有一個頂點P，坐標為P ( h,k )
　　當h=0時，P在y軸上；當k=0時，P在x軸上。即可表示為頂點式y(tǒng)=a(x-h)^2+k。
　　h=-b/2a， k=(4ac-b^2)/4a。
開口
　　二次項系數(shù)a決定二次函數(shù)圖像的開口方向和大小。
　　當a>0時，二次函數(shù)圖像向上開口；當a<0時，拋物線向下開口。
　　|a|越大，則二次函數(shù)圖像的開口越小。
決定對稱軸位置的因素
　　一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。
　　當a>0,與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左； 因為對稱軸在左邊則對稱軸小于0，也就是- b/2a<0,所以 b/2a要大于0，所以a、b要同號
　　當a>0,與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大于0，也就是- b/2a>0, 所以b/2a要小于0，所以a、b要異號
　　可簡單記憶為同左異右，即當a與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab<0 ），對稱軸在y軸右。
　　事實上，b有其自身的幾何意義：二次函數(shù)圖像與y軸的交點處的該二次函數(shù)圖像切線的函數(shù)解析式（一次函數(shù)）的斜率k的值?？赏ㄟ^對二次函數(shù)求導得到。
決定與y軸交點的因素
　　常數(shù)項c決定二次函數(shù)圖像與y軸交點。
　　二次函數(shù)圖像與y軸交于（0,C）
　　注意：頂點坐標為（h,k)， 與y軸交于（0,C)。
與x軸交點個數(shù)
　　a<0;k>0或a>0;k<0時，二次函數(shù)圖像與x軸有2個交點。
　　k=0時，二次函數(shù)圖像與x軸只有1個交點。
　　a<0;k<0或a>0,k>0時，二次函數(shù)圖像與X軸無交點。
　　當a>0時，函數(shù)在x=h處取得最小值ymin=k，在xh范圍內是增函數(shù)（即y隨x的變大而變小），二次函數(shù)圖像的開口向上，函數(shù)的值域是y>k
　　當a<0時，函數(shù)在x=h處取得最大值ymax=k，在xh范圍內是減函數(shù)（即y隨x的變大而變大），二次函數(shù)圖像的開口向下，函數(shù)的值域是y0，則拋物線開口朝上；a<0，則拋物線開口朝下；
　　極值點：（-b/2a，(4ac-b2;)/4a）；
　　Δ=b2-4ac,
　　Δ>0，圖象與x軸交于兩點：
　?。╗-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；
　　Δ=0，圖象與x軸交于一點：
　?。?b/2a，0）；
　　Δ<0，圖象與x軸無交點；
　　特殊地，Δ=4，頂點與兩零點圍成的三角形為等腰直角三角形；Δ=12，頂點與兩零點圍成的三角形為等邊三角形。
　　y=a(x-h)2+k[頂點式]
　　此時，對應極值點為（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a
　　y=a(x-x1)(x-x2)[交點式（雙根式）]（a≠0）
　　對稱軸X=(X1+X2)/2 當a>0 且X(X1+X2)/2時，Y隨X的增大而增大，當a>0且X（X1+X2）/2時Y隨X
　　的增大而減小
　　此時，x1、x2即為函數(shù)與X軸的兩個交點，將X、Y代入即可求出解析式（一般與一元二次方程連
　　用）。
　　交點式是Y=A(X-X1)(X-X2) 知道兩個x軸交點和另一個點坐標設交點式。兩交點X值就是相應X1 X2值。　　增減性
　　當a>0且y在對稱軸右側時，y隨x增大而增大，y在對稱軸左側則相反
　　當a<0且y在對稱軸右側時，y隨x增大而減小，y在對稱軸左側則相反
兩個關聯(lián)函數(shù)圖像
　　對稱關系
　　對于一般式：
　　y=ax^2+bx+c與y=ax^2-bx+c兩圖像關于y軸對稱
　　y=ax^2+bx+c與y=-ax^2-bx-c兩圖像關于x軸對稱
　　y=ax^2+bx+c與y=-ax^2+bx+c-2b^2*|a|/4a^2關于頂點對稱
　　y=ax^2+bx+c與y=-ax^2+bx-c關于原點對稱。
　　對于頂點式：
　　y=a(x-h)^2+k與y=a(x+h)^2+k兩圖像關于y軸對稱，即頂點（h,k）和（－h(huán),k）關于y軸對稱，橫坐標相反、縱坐標相同。
　　y=a(x-h)^2+k與y=-a(x-h)^2-k兩圖像關于x軸對稱，即頂點（h,k）和（h,－k）關于y軸對稱，橫坐標相同、縱坐標相反。
　　y=a(x-h)^2+k與y=-a(x-h)^2+k關于頂點對稱，即頂點（h,k）和（h,k）相同，開口方向相反。
　　y=a(x-h)^2+k與y=-a(x+h)^2-k關于原點對稱，即頂點（h,k）和（－h(huán),－k）關于原點對稱，橫坐標、縱坐標都相反。
　?。ㄆ鋵嵕褪菍(x)來說f(-x),-f(x),-f(-x)的情況）
與一元二次方程的關系
　　特別地，二次函數(shù)（以下稱函數(shù)）y=ax^2+bx+c，
　　當y=0時，二次函數(shù)為關于x的一元二次方程（以下稱方程），
　　即ax^2+bx+c=0
　　此時，函數(shù)圖像與x軸有無交點即方程有無實數(shù)根。
　　函數(shù)與x軸交點的橫坐標即為方程的根。
　　1．二次函數(shù)y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：
　　解析式 頂點坐標 對 稱 軸
　　y=ax^2(0，0) x=0
　　y=ax^2+K (0，K) x=0
　　y=a(x-h)^2(h，0) x=h
　　y=a(x-h)^2+k (h，k) x=h
　　y=ax^2+bx+c (-b/2a，(4ac-b^2);/4a)x=-b/2a
　　當h>0時，y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到，
　　當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到。
　　當h>0,k>0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k（h>0,k>0）的圖象
　　當h>0,k<0時，將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位，就可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k（h>0,k<0）的圖象
　　當h<0,k>0時，將拋物線y=ax^2向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位，就可得到y(tǒng)=a(x+h)^2+k（h<0,k>0）的圖象
　　當h<0,k<0時，將拋物線y=ax^2向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位，就可得到y(tǒng)=a(x+h)^2+k（h<0,k<0）的圖象
　　在向上或向下。向左或向右平移拋物線時，可以簡記為“上加下減，左加右減”。
　　因此，研究拋物線 y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了。這給畫圖象提供了方便。
　　2．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線x=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)
　　3．拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而減小；當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而增大。若a<0，當x ≤ -b/2a時，y隨x的增大而增大；當x ≥ -b/2a時，y隨x的增大而減小。
　　4．拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標軸的交點：
　　(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c)；
　　(2)當=b^2-4ac>0，圖象與x軸交于兩點A(x1，0)和B(x2，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的兩根．這兩點間的距離AB=|x1-x2| =√/∣a∣（a絕對值分之根號下）另外，拋物線上任何一對對稱點的距離可以由|2×（-b/2a）－A |（A為其中一點的橫坐標）
　　當=0．圖象與x軸只有一二次函數(shù)的知識點歸納總結