連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的最大最小值定理證明。

當(dāng)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上是連續(xù)函數(shù)時(shí)，存在c屬于[a,b]，d屬于[a,b],有f(c)≤f(x)≤f(d),x∈[a,b]成立。

在數(shù)學(xué)分析中，極值定理說明如果實(shí)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上是連續(xù)函數(shù)，則它一定存在至少一個(gè)的最大值和最小值，即[a,b]區(qū)間內(nèi)至少存在兩點(diǎn)存在x1和x2，對(duì)任意

?恒有

有界閉區(qū)域上的二元連續(xù)函數(shù)也有類似于一元函數(shù)的最值定理。同理，根據(jù)有界性定理，可得在閉區(qū)間[a,b]內(nèi)的連續(xù)函數(shù)f在該區(qū)間上有界，即存在實(shí)數(shù)m和M，使得：m≤f(x)≤M。

這表明極值定理強(qiáng)化了有界性定理，它表明函數(shù)不僅是有界的，而且它的最小上界就是最大值，最大下界就是最小值。

擴(kuò)展資料：

證明最值定理的基本步驟為：

1、證明有界性定理。

2、尋找一個(gè)序列，它的像收斂于f(x)的最小上界。

3、證明存在一個(gè)子序列，它收斂于定義域內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)。

4、用連續(xù)性來證明子序列的像收斂于最小上界。

5、同理證明最大下界。