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用拉普拉斯變換求下列微分方程 Tx'(t)+x(t)=t·1(t) (設0?初始值為零)？

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用拉普拉斯變換求下列微分方程 Tx'(t)+x(t)=t·1(t) (設0?初始值為零)？

2022-12-01 01:57

求大佬解答
1個回答
2022-12-01 04:34

解:微分方程為Tx'(t)+x(t)=t·1(t)，設微分方程的特征值為λ，特征方程為Tλ+1=0，得:

λ=-1/T，特征根為e^(-t/T)，則微分方程兩邊同時乘以e^(t/T)，有

Tx'(t)e^(t/T)+x(t)e^(t/T)=t·1(t)·e^(t/T)， [Tx(t)e^(t/T)]'=t·1(t)·e^(t/T)，

Tx(t)e^(t/T)=∫[t·1(t)·e^(t/T)]dt+c

(c為任意常數(shù))，方程通解為

x(t)=(1/T)e^(-t/T)∫[t·1(t)·e^(t/T)]dt+

(c/T)e^(-t/T)

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