生活中的數(shù)學(xué)小故事

對(duì)數(shù)螺線與蜘蛛網(wǎng)

曾看過(guò)這樣一則謎語(yǔ):“小小諸葛亮，穩(wěn)坐軍中帳。擺下八卦陣，只等飛來(lái)將。”動(dòng)一動(dòng)腦筋，這說(shuō)的是什么呢?原來(lái)是蜘蛛，后兩句講的正是蜘蛛結(jié)網(wǎng)捕蟲(chóng)的生動(dòng)情形。我們知道，蜘蛛網(wǎng)既是它棲息的地方，也是它賴以謀生的工具。

你觀察過(guò)蜘蛛網(wǎng)嗎?它是用什么工具編織出這么精致的網(wǎng)來(lái)的呢?你心中是不是有一連串的疑問(wèn)，好，下面就讓我來(lái)慢慢告訴你吧。在結(jié)網(wǎng)的過(guò)程中，功勛最卓著的要屬它的腿了。首先，它用腿從吐絲器中抽出一些絲，把它固定在墻角的一側(cè)或者樹(shù)枝上。然后，再吐出一些絲，把整個(gè)蜘蛛網(wǎng)的輪廓勾勒出來(lái)，用一根特別的絲把這個(gè)輪廓固定住。為繼續(xù)穿針引線搭好了腳手架。它每抽一根絲，沿著腳手架，小心翼翼地向前走，走到中心時(shí)，把絲拉緊，多余的部分就讓它聚到中心。從中心往邊上爬的過(guò)程中，在合適的地方加幾根輻線，為了保持蜘蛛網(wǎng)的平衡，再到對(duì)面去加幾根對(duì)稱的輻線。一般來(lái)說(shuō)，不同種類的蜘蛛引出的輻線數(shù)目不相同。絲蛛最多，42條；有帶的蜘蛛次之，也有32條；角蛛最少，也達(dá)到21條。同一種蜘蛛一般不會(huì)改變輻線數(shù)。

到目前為止，蜘蛛已經(jīng)用輻線把圓周分成了幾部分，相臨的輻線間的圓周角也是大體 相同的。現(xiàn)在，整個(gè)蜘蛛網(wǎng)看起來(lái)是一些半徑等分的圓周，畫(huà)曲線的工作就要開(kāi)始了。蜘蛛從中心開(kāi)始，用一條極細(xì)的絲在那些半徑上作出一條螺旋狀的絲。這是一條輔助的絲。然后，它又從外圈盤旋著走向中心，同時(shí)在半徑上安上最后成網(wǎng)的螺旋線。在這個(gè)過(guò)程中，它的腳就落在輔助線上，每到一處，就用腳把輔助線抓起來(lái)，聚成一個(gè)小球，放在半徑上。這樣半徑上就有許多小球。從外面看上去，就是許多個(gè)小點(diǎn)。好了，一個(gè)完美的蜘蛛網(wǎng)就結(jié)成了。

讓我們?cè)賮?lái)好好觀察一下這個(gè)小精靈的杰作:從外圈走向中心的那根螺旋線，越接近中心，每周間的距離越密，直到中斷。只有中心部分的輔助線一圈密似一圈，向中心繞去。小精靈所畫(huà)出的曲線，在幾何中稱之為對(duì)數(shù)螺線。

對(duì)數(shù)螺線又叫等角螺線，因?yàn)榍€上任意一點(diǎn)和中心的連線與曲線上這點(diǎn)的切線所形成的角是一個(gè)定角。大家可別小看了對(duì)數(shù)螺線:在工業(yè)生產(chǎn)中，把抽水機(jī)的渦輪葉片的曲面作成對(duì)數(shù)；螺線的形狀，抽水就均勻；在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，把軋刀的刀口彎曲成對(duì)數(shù)螺線的形狀，它就會(huì)按特定的角度來(lái)切割草料，又快又好。

貓捉老鼠

問(wèn)題：如果3只貓?jiān)?分鐘內(nèi)捉住了3只老鼠，那么多少只貓將在100分鐘內(nèi)捉住100只老鼠?

這是一個(gè)古老的趣題，常見(jiàn)的答案是這樣的：如果3只貓用3分鐘捉住了3只老鼠，那么它們必須用1分鐘捉住1只老鼠。于是，如果捉1只老鼠要花去它們1分鐘時(shí)間，那么同樣的3只貓?jiān)趌00分鐘內(nèi)將會(huì)捉住100只老鼠。

遺憾的是，問(wèn)題并不那么簡(jiǎn)單。剛才的解答實(shí)際上利用了某個(gè)假定，它無(wú)疑是題目中所沒(méi)有談到的。這個(gè)假定認(rèn)為這3只貓把注意力全部集中于同一只老鼠身上，它們通過(guò)合作在1分鐘內(nèi)把它捉住，然后再聯(lián)合把注意力轉(zhuǎn)向另—只老鼠。

但是，假設(shè)3只貓換一個(gè)做法，每只貓各追捕1只老鼠，各花3分鐘把它們捉住。按照這種設(shè)想，3只貓還是用3分鐘捉住3只老鼠。于是，它們要花6分鐘去捉住6只老鼠，花9分鐘捉住9只老鼠，花99分鐘捉住99只老鼠?，F(xiàn)在我們面臨著一個(gè)計(jì)算上的困難，同樣的3只貓究竟要花多長(zhǎng)時(shí)間才能捉住第100只老鼠呢?如果它們還是要足足花上3分鐘去捉住這只老鼠，那么這3只貓得花l02分鐘捉住102只老鼠。要在100分鐘內(nèi)捉住100只老鼠——這是題目關(guān)于貓捉老鼠的效率指標(biāo)，我們肯定需要多于3只而少于4只的貓，因此答案只能是需要4只貓，雖然這有點(diǎn)浪費(fèi)。

顯然，對(duì)于3只貓是怎樣準(zhǔn)確地計(jì)算貓捉老鼠這種行動(dòng)的時(shí)間，這個(gè)趣題沒(méi)做任何交代。因此，如果允許答案不唯一，那么，答案可以是豐富多彩的，3只、4只、甚至更多。如果要求答案唯一的話，這個(gè)問(wèn)題的唯一正確答案是：這是一個(gè)意義不明確的問(wèn)題，由于沒(méi)有更多關(guān)于貓是怎樣捕捉老鼠的信息，因此無(wú)法回答這個(gè)問(wèn)題。

這個(gè)簡(jiǎn)單的趣題啟示我們，在解答一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題（也包括其他問(wèn)題）前，一定要仔細(xì)領(lǐng)會(huì)題目所給出的全部信息，既不要曲解題義，也不要人為添加條件以迎合所謂的標(biāo)準(zhǔn)答案。當(dāng)然這個(gè)趣題也給了我們一個(gè)有益的人生啟示——只有合作才能產(chǎn)生最佳的工作效益。

表面涂漆的小積木的塊數(shù)

一塊表面涂著紅漆的大積木（正方體），被鋸成27塊大小一樣的小積木，那么，這些小積木中，（1）三面涂漆的有幾塊？（2）兩面涂漆的有幾塊？（3）一面涂漆的有幾塊？

這時(shí)，就不能再用把積木鋸開(kāi)的辦法來(lái)回答問(wèn)題了。但只需認(rèn)真觀察一下，你就能發(fā)現(xiàn)，把正方體鋸開(kāi)以后，只有位于正方體八個(gè)角上的那些小積木，是三面涂漆的。也就是說(shuō)，三面涂漆的小積木的塊數(shù)，等于正方體的頂點(diǎn)數(shù)，有8塊；

涂漆的那些小積木，位于正方體的兩個(gè)面的交界處，但不在正方體的角上（即頂點(diǎn)處）。因此，只需首先確定正方體的某條棱上出現(xiàn)的兩面涂漆的小積木的塊數(shù)，而正方體有12條棱。于是，立即可以求得，兩面涂漆的小積木的塊數(shù)為1塊×12=12塊；

一面涂漆的小積木，位于正方體每個(gè)面的中心部位。即不在正方體的頂點(diǎn)處，也不在棱上。因此，只需首先確定正方體的某一個(gè)面上出現(xiàn)的一面涂漆的小積木的塊數(shù)，而正方體有6個(gè)面。于是可得，一面涂漆的小積木的塊數(shù)為1塊×6=6塊。

通過(guò)觀察，找出解決問(wèn)題的規(guī)律，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要任務(wù)之一。這樣，就能運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)迅速而又有效地解決實(shí)際問(wèn)題。根據(jù)上面歸納出來(lái)的分析方法，即使把這個(gè)正方體鋸成更多的小積木，我們也能輕松地回答類似的問(wèn)題。

建議班級(jí)購(gòu)買一臺(tái)飲水機(jī)



在炎炎夏日里，同學(xué)們遇到的難事就是飲水問(wèn)題，為了使同學(xué)們過(guò)一個(gè)衛(wèi)生清潔的夏季，班級(jí)決定出錢買一臺(tái)飲水機(jī)，而每人又應(yīng)出多少錢呢？即使買了飲水機(jī)，是否比過(guò)去每個(gè)學(xué)生每天買礦泉水更節(jié)省、更實(shí)惠？下面就來(lái)解答這個(gè)問(wèn)題。

一、學(xué)生礦泉水費(fèi)用支出

溫州市景山中學(xué)共有37個(gè)班級(jí)，假設(shè)每班學(xué)生平均為60人，那么全校就有60×37=2220（人）。一年中，學(xué)生在校的時(shí)間（除去寒暑假雙休日）大約為240天，設(shè)春季、夏季、秋季、冬季、各為60天，在班級(jí)沒(méi)有購(gòu)買飲水機(jī)時(shí)，學(xué)生解渴一般買礦泉水，設(shè)礦泉水每瓶為一元，學(xué)生春秋季每人二天1瓶礦泉水，則總共為60瓶。夏季每人每天1瓶，則總共也為60瓶，冬季每人每4天1瓶，總共為15瓶，則全年平均每名學(xué)生礦泉水費(fèi)支出： 60+60+（60÷4）×1=135(元)；全班學(xué)生礦泉水費(fèi)用 135×60=8100(元)；全校學(xué)生礦泉水費(fèi)用：8100×37=2997****(元)。

二、使用飲水機(jī)費(fèi)用

一臺(tái)冷熱飲水機(jī)的價(jià)格約為750元，1字牌大桶礦泉水為每桶10元，現(xiàn)每班都配備飲水機(jī)。設(shè)每班春、季兩季、每2天1桶，則需60桶，夏季每天2桶，則需120桶，冬季每6天1桶，則每班需20桶，則一學(xué)年每班需要“60+120+20=200（桶），一學(xué)生每班水費(fèi)為200×10=2000元。電費(fèi)折合為每學(xué)年每班為300元。則一學(xué)年配置飲水機(jī)每班水電費(fèi)2300元。所以，一學(xué)年每班飲水機(jī)等合計(jì)約為2300+750÷3=2550元；每個(gè)學(xué)生平均一學(xué)年的水電費(fèi)為2500÷60=42.5元；景山中學(xué)全校全年飲水機(jī)等費(fèi)用約為37×2550=94350元；

顯然，通過(guò)計(jì)算，比較兩項(xiàng)開(kāi)支費(fèi)用，各班購(gòu)買一臺(tái)飲水機(jī)要經(jīng)濟(jì)實(shí)惠得多，一學(xué)年每個(gè)學(xué)生可以節(jié)省：135-42.5=92.5元；每個(gè)班一學(xué)年可節(jié)省： 92.5×60=5550元；全校一學(xué)年可節(jié)?。?550×37=2053****元。

2053****元，一個(gè)了不起的數(shù)據(jù)，而我們每天又可以喝上衛(wèi)生清潔、冷暖皆宜的飲水機(jī)的礦泉水，等我們畢業(yè)時(shí)還可以把飲水機(jī)贈(zèng)給下屆同學(xué)，何樂(lè)而不為呢？我向昌樂(lè)二中提出倡議：在每個(gè)教室里配一臺(tái)飲水機(jī)。

巧用數(shù)學(xué)看現(xiàn)實(shí)

在現(xiàn)實(shí)生活中，人們的生活越來(lái)越趨向于經(jīng)濟(jì)化，合理化．但怎樣才能達(dá)到這樣的目的呢？

某報(bào)紙上報(bào)道了兩則廣告，甲商廈實(shí)行有獎(jiǎng)銷售：特等獎(jiǎng) 10000元 1名，一等獎(jiǎng)1000元 2名，二等獎(jiǎng)100元10名，三等獎(jiǎng)5元200名，乙商廈則實(shí)行九五折優(yōu)惠銷售。請(qǐng)你想一想；哪一種銷售方式更吸引人？哪一家商廈提供給銷費(fèi)者的實(shí)惠大？

面對(duì)問(wèn)題我們并不能一目了然。于是我們首先作了一個(gè)隨機(jī)調(diào)查。把全組的16名學(xué)員作為調(diào)查對(duì)象，其中8人愿意去甲家，6人喜歡去乙家，還有兩人則認(rèn)為去兩家都可以。調(diào)查結(jié)果表明：甲商廈的銷售方式更吸引人，但事實(shí)是否如此呢？

在實(shí)際問(wèn)題中，甲商厚每組設(shè)獎(jiǎng)銷售的營(yíng)業(yè)額和參加抽獎(jiǎng)的人數(shù)都沒(méi)有限制。所以我們認(rèn)為這個(gè)問(wèn)題應(yīng)該有幾種答案。

一、苦甲商廈確定每組設(shè)獎(jiǎng)，當(dāng)參加人數(shù)較少時(shí)，少于213（1十2＋10＋200=213人）人，人們會(huì)認(rèn)為獲獎(jiǎng)機(jī)率較大，則甲商廈的銷售方式更吸引顧客。

二、若甲商廈的每組營(yíng)業(yè)額較多時(shí)，它給顧客的優(yōu)惠幅度就相應(yīng)的小。因?yàn)榧咨虖B提供的優(yōu)惠金額是固定的，共 14000元（10000＋ 2000＋ 1000＋1000=14000）。假設(shè)兩商廈提供的優(yōu)惠都是14000元，則可求乙商廈的營(yíng)業(yè)額為 2800****元（ 14000 ÷ 5％=2800****）。

所以由此可得：

（l）當(dāng)兩商廈的營(yíng)業(yè)額都為2800****元時(shí)，兩家商廈所提供的優(yōu)惠同樣多。

（2）當(dāng)兩商廈的營(yíng)業(yè)額都不足 2800****元時(shí)，乙商廈的優(yōu)惠則小于 14000元，所以這時(shí)甲商廈提供的優(yōu)惠仍是 14000元，優(yōu)惠較大。

（3）當(dāng)兩家的營(yíng)業(yè)額都超過(guò)2800****元時(shí)，乙商廈的優(yōu)惠則大于14000元，而甲商廈的優(yōu)惠仍保持14000元時(shí)，乙商廈所提供的實(shí)惠大。