龜兔賽跑的故事第二次世界大戰(zhàn)

極限思想的解釋?zhuān)?原文中的分析是：設(shè)開(kāi)始時(shí)阿基里斯在A點(diǎn)，烏龜在B點(diǎn)，AB間相距一段距離。出發(fā)后，當(dāng)阿基里斯到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，烏龜已經(jīng)向前移動(dòng)了一段距離到達(dá)了C，BC間也相距一定距離；然后阿基里斯繼續(xù)由B向C運(yùn)動(dòng)，到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，烏龜又已經(jīng)前進(jìn)了一段距離到達(dá)了D，這樣下去，阿基里斯將不停地一段一段距離地追趕而烏龜卻能永遠(yuǎn)保持在他前面一小段距離。 極限思想認(rèn)為上面分析中的“烏龜卻能永遠(yuǎn)保持在他前面”說(shuō)法有錯(cuò)誤，雖然阿基里斯將無(wú)限次的向?yàn)觚斔谖恢帽平?，但并不是永遠(yuǎn)追不上，因?yàn)檫@無(wú)限次的運(yùn)動(dòng)只需要有限的時(shí)間就可以完成。 假設(shè)阿基里斯速度為V1，烏龜速度為V2，開(kāi)始時(shí)阿基里斯在A0點(diǎn)，烏龜在A1點(diǎn)，A0與A1距離為L(zhǎng)1； 第一次，阿基里斯由A0運(yùn)動(dòng)到A1需要時(shí)間T1=L1/V1，這時(shí)烏龜運(yùn)動(dòng)到了A2點(diǎn)，則A2距A1的距離為L(zhǎng)2=V2*T1=V2/V1*L1； 第二次，阿基里斯由A1運(yùn)動(dòng)到A2需要時(shí)間T2=L2/V1=V2/V1^2*L1，這時(shí)烏龜運(yùn)動(dòng)到了A3點(diǎn)，則A3距A2的距離為L(zhǎng)3=V2*T2=V2^2/V1^2*L1； 第三次，阿基里斯由A2運(yùn)動(dòng)到A3需要時(shí)間T3=L3/V1=V2^2/V1^3*L1，這時(shí)烏龜運(yùn)動(dòng)到了A4點(diǎn)，則A4距A3的距離為L(zhǎng)4=V2*T3=V2^3/V1^3*L1； …… 第n次，阿基里斯由A(n-1)運(yùn)動(dòng)到An需要時(shí)間Tn=V2^(n-1)/V1^n*L1，這時(shí)烏龜運(yùn)動(dòng)到了A(n+1)點(diǎn)，則A(n+1)距An的距離為L(zhǎng)(n+1)=V2*Tn=V2^n/V1^n*L1； …… 將這無(wú)限次運(yùn)動(dòng)的時(shí)間全加起來(lái)： T=T1+T2+T3+…+Tn+…=L1/V1*[1+V2/V1+(V2/V1)^2+(V2/V1)^3+…+(V2/V1)^(n-1)+…] 中括號(hào)里的式子是一個(gè)等比數(shù)列，求和取極限可得T=L1/V1*lim{[1-(V2/V1)^n]/(1-V2/V1)}； 解得T=L1/(V1-V2) 可以看到，T是一個(gè)有限值，也就是說(shuō)阿基里斯完成這無(wú)數(shù)次運(yùn)動(dòng)而追上烏龜只需要有限的時(shí)間T就夠了，而我們也能看出這個(gè)T正好與按普通物理方法求出的結(jié)果一致。 悖論揭示的物理本質(zhì)： 時(shí)間和空間是不可無(wú)限分割的。 在阿基里斯逼近烏龜?shù)哪骋晃恢脮r(shí)，他距烏龜?shù)木嚯x已經(jīng)短到了極限，沒(méi)有比這個(gè)長(zhǎng)度更短的長(zhǎng)度了。 光速通過(guò)這個(gè)長(zhǎng)度所需的時(shí)間也是最短的時(shí)間，也沒(méi)有比這個(gè)更短的時(shí)間間隔。 于是，在這種物理本質(zhì)的制約下，當(dāng)阿基里斯在幾個(gè)最短的時(shí)間間隔中移動(dòng)到烏龜所在的位置時(shí)，烏龜無(wú)法再前進(jìn)一個(gè)更小的距離了；再過(guò)了幾個(gè)最短時(shí)間間隔，這時(shí)烏龜才能向前移動(dòng)一個(gè)最短距離。此時(shí)，阿基里斯已經(jīng)超過(guò)烏龜了。 這就是阿基里斯追上烏龜?shù)募?xì)節(jié)過(guò)程。