一次函數(shù)與二元一次方程

二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當(dāng)y=0時(shí)，得到ax2+bx+c=0（a≠0），那么一元二次方程的解就是二次函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)情況決定一元二次方程根的情況。

二者區(qū)別：

1、從形式上看：

二次函數(shù)：y=ax2＋bx＋c (a≠0)。

一元二次方程：ax2＋bx＋c=0 (a≠0)。

2、從內(nèi)容上看：

二次函數(shù)表示的是一對(duì)（x,y)之間的關(guān)系，它有無(wú)數(shù)對(duì)解。

一元二次方程表示的是未知數(shù)x的值，最多只有2個(gè)值。

特別注意：

1、解一元二次方程ax2+bx+c=0實(shí)質(zhì)上就是求當(dāng)二次函數(shù)值為0時(shí)的自變量x的取值，反映在圖像上就是求拋物線與x軸交點(diǎn)的搜塵橫坐標(biāo)。

2、若一元二次方程ax2+bx+c=0的兩空漏絕個(gè)根為x1、x2（x1

則拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交點(diǎn)為（x1,0）、（x2,0），對(duì)稱(chēng)軸為直線x=（x1+x2）／2。

3、若a>0，當(dāng)x<斗姿x1或x>x2時(shí)，y>0；當(dāng)x1

若a<0，當(dāng)x10；當(dāng)x1x2時(shí)，y<0。

1.轉(zhuǎn)化： 將此一元二次方程化為ax^2+bx+c=0的形式(即一元二次方程的一般形式）化為一般形式 　　2.移項(xiàng)： 常數(shù)項(xiàng)移到等式右邊 　　3.系數(shù)化1： 二次項(xiàng)系數(shù)化為1 　　4.配方： 等號(hào)左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方 　　5.求解： 用直接開(kāi)平方法求解 整理 （即可得到原方程的根） 　　代數(shù)式表示方法:注(^2是平方的意思.) 　　ax^2+bx+c=a(x+b/2a)^2+（4ac-b^2）/4a=a[(x+m)^2-n^2]=a(x+m+n)*(x+m-n) 　　例:解方程2x^2+4=6x 　　1. 2x^2-6x+4=0 　　2. x^2-3x+2=0 　　3. x^2-3x=-2 　　4. x^2-3x+2.25=0.25 （+2.25：加上3一半的平方，同時(shí)-2也要加上3一半的平方讓等式兩邊相等） 　　5. (x-1.5)^2=0.25 （a^2+2b+1=0 即 （a+1）^2=0） 　　6. x-1.5=±0.5 　　7. x1=2 　　x2=1 （一元二次方程通常有兩個(gè)解，X1 X2）
編輯本段二次函數(shù)配方法技巧
　　y=ax?要的一項(xiàng)，往往在解決方程，不等式，函數(shù)中需用，下面詳細(xì)說(shuō)明： 　　首先卜如，明確的是配方法就是將關(guān)于兩個(gè)數(shù)(或代數(shù)式，但這兩一定是平方式)，寫(xiě)成（a+b）平方的形式或（a-b）平方的形式： 將（a+b）平方的展開(kāi)得 （a+b)^2=a^2+2ab+b^2 所以要配成（a+b）平方的形式就必須要配弊早有a^2，2ab，b^2 則選定你要配的對(duì)象后（就是a^2和培雀b^2，這就是核心，一定要有這兩個(gè)對(duì)象，否則無(wú)法使用配方公式），就進(jìn)行添加和去增，例如： 原式為a^2+ b^2 解： a^2+ b^2 = a^2+ b^2 +2ab-2ab = （ a^2+ b^2 +2ab）-2ab = （a+b)^2-2ab 再例： 原式為a^2+ 2b^2 解： a^2+2b^2 = a^2+ b^2 + b^2 +2ab-2ab = （ a^2+ b^2 +2ab）-2ab+ b^2 = （a+b)^2-2ab+ b^2 這就是配方法了， 附注：a或b前若有系數(shù)，則看成a或b的一部分， 例如：4a^2看成（2a)^2 9b^2看成（a^29b^2）

f(x)是開(kāi)口向上且關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的拋物線，所以:
(1)如果[a,b]包括0那么f(0)就是最小值，最大值不是f(a)就是f(b);
(2)如果a>0那么f(a)最小f(b)最大，因?yàn)檫@類(lèi)拋物線在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)是單調(diào)增的;
(3)如果b<0那么f(a)最大f(b)最小，因?yàn)檫@類(lèi)拋物線在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)是單調(diào)減的。
對(duì)于情況(1)，f(0)=13/2=2a，于是a=13/4;但a≤0≤b，矛盾，所以情況(1)不可能。
對(duì)于情況(2)，f(a)=a^2/2+13/2=2a得出a^2-4a+13=0，a無(wú)實(shí)數(shù)解，所以情況(2)不可能。
對(duì)于情況(3)，f(a)=a^2/2+13/2=2b，f(b)=b^2/2+13/2=2a，但注意到f(x)的值域是[13/2, 正無(wú)窮大)，情況(3)里a和b都小于0于是f(a)和f(b)也小于0，矛盾，所以情況(3)不可能。
綜上，原題無(wú)解。

函數(shù)描述了自然界中量的依存關(guān)系，反映了一個(gè)事物隨著另一個(gè)事物變化而變化的關(guān)系和規(guī)律。函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)是剔除問(wèn)題的非數(shù)學(xué)特征，用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對(duì)象，抽象其數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系。在解決某些數(shù)字問(wèn)題時(shí)，先設(shè)定一些未知數(shù)，然后把它們當(dāng)作已知數(shù)，根據(jù)題設(shè)本身各量間的制約，列出等式，所設(shè)未知數(shù)溝通了變量之間的關(guān)系，這就是方程的思想。 函數(shù)與方程是兩個(gè)不同的概念，但它們之間有著密切的聯(lián)系，一個(gè)函數(shù)若有解析表達(dá)式，那么這個(gè)表達(dá)式就可看成是一個(gè)方程。一個(gè)二元方程，兩個(gè)變量存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系，如果這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是函數(shù)，那么這個(gè)方程可以看成是一個(gè)函數(shù)，一個(gè)一元方程，它的兩端可以分別看成函數(shù)，方程的解即為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因此，許多有關(guān)方程的問(wèn)題可以用函數(shù)的方法解決；反之，許多有關(guān)函數(shù)的問(wèn)題則可以用方程的方法解決?？傊?，在學(xué)習(xí)中要注意領(lǐng)悟蘊(yùn)含在知識(shí)和解題過(guò)程中函數(shù)和方程的思想，用它來(lái)指導(dǎo)解題。在解題中，同時(shí)要注意從不同的角度去觀察探索，尋求多種方法，從而得到最佳解題方案，本節(jié)知識(shí)主要分兩個(gè)內(nèi)容：① 結(jié)合二次函數(shù)的圖像，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)，從而了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系。② 根據(jù)具體函數(shù)的圖像，能夠借助計(jì)算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法。以下就此進(jìn)行闡述：一、 關(guān)于函數(shù)的零點(diǎn)。同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，并且用映射的觀點(diǎn)深刻地理解了函數(shù)這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，而函數(shù)和方程之間有什么樣的聯(lián)系呢?這就是我們研究函數(shù)零點(diǎn)的意義所在，并且這也是函數(shù)與方程思想的初步研究，為以后的學(xué)習(xí)將有重大幫助。函數(shù)的零點(diǎn)將函數(shù)的性質(zhì)與方程聯(lián)系在一起，它是函數(shù)與方程思想的一個(gè)基本體現(xiàn)，使我們初步體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)之間的緊密聯(lián)系。函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，考慮函數(shù)是否有零點(diǎn)對(duì)研究函數(shù)性質(zhì)和精確地畫(huà)出函數(shù)圖象有著重要幫助。例如，求出二次函數(shù)的零點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo)，就能確定二次函數(shù)的一些主要性質(zhì)并能粗略地畫(huà)出函數(shù)的簡(jiǎn)圖。函數(shù)的零點(diǎn)，即函數(shù)與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，亦即對(duì)應(yīng)方程的根。我們可以通過(guò)方程來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)。研究二次函數(shù)的零點(diǎn)，首先應(yīng)明確函數(shù)零點(diǎn)，就是使得函數(shù)值為0的x的值，即相應(yīng)方程的根。要明確函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)，其次應(yīng)了解對(duì)一些簡(jiǎn)單三次函數(shù)甚至高次函數(shù)的零點(diǎn)求法，一般情況下采用的是分解因式法，轉(zhuǎn)化為方程的根的求解，從而可以作出函數(shù)的簡(jiǎn)圖。在此過(guò)程中，不難發(fā)現(xiàn)零點(diǎn)的一些性質(zhì)：（1）函數(shù)的零點(diǎn)可以重合（二重的零點(diǎn)）也可以不重合，也可以沒(méi)有零點(diǎn)；（2）若存在零點(diǎn)，只要不重合，而函數(shù)圖象是連續(xù)的，這個(gè)零點(diǎn)就是變號(hào)零點(diǎn)；（3）相鄰兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)之間的函數(shù)值保持同號(hào)，而對(duì)任意函數(shù)，只要它的圖象是連續(xù)不問(wèn)斷的，上述性質(zhì)仍然成立。以下是關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題。　變式練習(xí)1．求下列函數(shù)的零點(diǎn)．（1）f（x）＝x2－3x＋2；　?。?）f（x）＝x2＋5x＋4；（3）f（x）＝－x2＋4x；　?。?）f（x）＝x3－8x2－9x．解析：解方程易求得對(duì)應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)．答案：（1）1，2?。?）1，4?。?）0，4?。?）0，9，－12．下列函數(shù)的自變量在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，函數(shù)值大于零?（1）f（x）＝－x2＋5x；　　?。?）f（x）＝x3－8x．解析：求出函數(shù)零點(diǎn)，考查函數(shù)在零點(diǎn)兩側(cè)的符號(hào)，可求得正值區(qū)間．答案：（1）（0，5）?。?）（ ，0），（ ，＋∞）3．求下列函數(shù)與x軸的交點(diǎn)．（1）f（x）＝x2－3x－10；　　　（2）f（x）＝3x2－x－2．解析：函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，即對(duì)應(yīng)方程的根，故解方程可得．答案：（1）5，－2?。?）1， 4．二次函數(shù)y＝x2＋mx＋（m＋3）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則m的取值范圍是（　?。．（－∞，－2）（6，＋∞）　　　B．（－2，6）　C．[－2，6]　　 　　　　　　　　D．[－2，6）解析：二次函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，意味著對(duì)應(yīng)二次方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，則有 ，可求得m的取值范圍．答案：A5．函數(shù) 的零點(diǎn)是（　?。．1，－1　　　B．1　　　　　　C．－1　　　　D．不存在解析：由 可得1－x2＝0且1＋x≠0，故可得x＝1．答案：B6．已知函數(shù)f（x）＝x2－1，則函數(shù)f（x－1）的零點(diǎn)是________．解析：由已知得f（x－1）＝（x－1）2－1則f（x－1）＝0，可得x＝0，2．答案：0，27．求出函數(shù)零點(diǎn)，畫(huà)出函數(shù)簡(jiǎn)圖，并說(shuō)明函數(shù)值在哪些區(qū)間上大于零、小于零．（1）y＝x2－2x－1；　　?。?）y＝－2x2－3x＋1．解析：根據(jù)題意畫(huà)出圖象，或求得零點(diǎn)后說(shuō)明．典型例題一【例1】討論函數(shù)y＝（ax－1）（x－2）的零點(diǎn)．解析：本例主要是培養(yǎng)學(xué)生理解概念的程度和靈活應(yīng)用知識(shí)的能力以及分類(lèi)討論思想的運(yùn)用．（1）當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)y＝－x＋2，故其零點(diǎn)為x＝2；（2）當(dāng)a≠0時(shí)，零點(diǎn)為x1＝1/a，x2＝2．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查學(xué)生對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的求法的靈活準(zhǔn)確應(yīng)用和分類(lèi)討論思想的運(yùn)用，解題時(shí)要本著簡(jiǎn)潔直觀的原則，按照函數(shù)零點(diǎn)的求法進(jìn)行轉(zhuǎn)化和求解．【例2】求函數(shù)y＝x3－2x2－x＋2的零點(diǎn)，并根據(jù)零點(diǎn)畫(huà)出簡(jiǎn)圖．解析：對(duì)簡(jiǎn)單的三次函數(shù)的零點(diǎn)的求法，一般原則是進(jìn)行分解因式，從而轉(zhuǎn)化為求方程的根將零點(diǎn)求出．y＝（x－2）（x－1）（x＋1），令y＝0可求得已知函數(shù)的零點(diǎn)為－1、1、2．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查學(xué)生對(duì)函數(shù)零點(diǎn)概念的理解，函數(shù)零點(diǎn)與方程的關(guān)系，等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法．【例3】下列函數(shù)的自變量在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，函數(shù)值大于零?（1）y＝x2－3x－4；　　　　　　（2）y＝－x2＋2x＋3．解析：（1）易知函數(shù)零點(diǎn)為－1、4，畫(huà)出函數(shù)簡(jiǎn)圖可知自變量在（－∞，－1）內(nèi)取值函數(shù)值也大于零；在（4，＋∞）時(shí)函數(shù)值也大于零．（2）同（1），注意函數(shù)圖象開(kāi)口向下，易求得答案．合作討論一【問(wèn)題1】已知二次函數(shù)y＝x2－x－2，試問(wèn)x取哪些值時(shí)，y＝0？這些值與方程x2－x－2＝0的根有什么關(guān)系?我的思路：計(jì)算發(fā)現(xiàn)，問(wèn)題1的值就是問(wèn)題2中方程的根。即求函數(shù)的零點(diǎn)，就是求相應(yīng)方程的根?！締?wèn)題2】是不是任意的函數(shù)都有零點(diǎn)?不妨以二次函數(shù)為例作出說(shuō)明。我的思路：考慮二次函數(shù)在判別式的變化下，與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有所不同，相對(duì)應(yīng)的二次方程將有不同情況的根。通過(guò)教學(xué)研究引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)。1．函數(shù)零點(diǎn)的一般求法是求方程的根、分解因式等。2．根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)畫(huà)出簡(jiǎn)圖，判斷函數(shù)取值的符號(hào)。3．注意數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等思想方法的應(yīng)用。二、關(guān)于二分法二分法主要應(yīng)用在求函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)當(dāng)中，它是用計(jì)算機(jī)求解多項(xiàng)式方程時(shí)常用的一種方法，其基本思想是：若f（x1）與f（x2）的符號(hào)相反，則方程f（x）＝0在區(qū)間（x1，x2）至少有一個(gè)根。應(yīng)教會(huì)學(xué)生牢記二分法的基本計(jì)算步驟，即基本思路為：任取兩點(diǎn)x1和x2，判斷（x1，x2）區(qū)間內(nèi)有無(wú)一個(gè)實(shí)根，如果f（x1）和f（x2）符號(hào)相反，說(shuō)明（x1，x2）之間有一個(gè)實(shí)根，取（x1，x2）的中點(diǎn)x，檢查f（x）與f（x1）是否同符號(hào)，如果不同號(hào)，說(shuō)明實(shí)根在（x，x1）區(qū)間，這樣就已經(jīng)將尋找根的范圍減少了一半了。然后用同樣的辦法再進(jìn)一步縮小范圍。再找x1與x2（x2＝x）的中點(diǎn)“x”，并且再舍棄其一半?yún)^(qū)間。如果f（x）與f（x1）同號(hào)，則說(shuō)明根在（x，x2）區(qū)間，再取x與x2的中點(diǎn)，并舍棄其一半?yún)^(qū)間。用這個(gè)辦法不斷縮小范圍，直到區(qū)間相當(dāng)小為止，即得到我們所要求的函數(shù)的零點(diǎn)。典型例題二　　【例1】已知集合A＝{x|x²－5x＋4≤0}與B＝{x|x²－2ax＋a＋2≤0，a R}，若A B＝A，求a的取值范圍?！　〗馕觯罕纠饕疾閷W(xué)生對(duì)于二次方程的根的分布解決能力和靈活轉(zhuǎn)化意識(shí)?！　　纠?】已知x的不等式 ＞ax的解區(qū)間是（0，2），求a的值?！　〗馕觯罕绢}主要考查含參數(shù)無(wú)理不等式的解法，運(yùn)用逆向思維解決問(wèn)題。合作討論二【問(wèn)題1】國(guó)家購(gòu)買(mǎi)某種農(nóng)產(chǎn)品的價(jià)格為120元/擔(dān)，其中征稅標(biāo)準(zhǔn)為100元征8元（叫做稅率為8個(gè)百分點(diǎn)，即8％），計(jì)劃可收購(gòu) 萬(wàn)擔(dān)。為了減輕農(nóng)民負(fù)擔(dān)，決定稅率降低 個(gè)百分點(diǎn)，預(yù)計(jì)收購(gòu)量可增加2 個(gè)百分點(diǎn)。　?。?）寫(xiě)出稅收 （萬(wàn)元）與 的函數(shù)關(guān)系式；　?。?）要使此項(xiàng)稅收在稅率調(diào)節(jié)后達(dá)到計(jì)劃的78％，試求此時(shí)的 的值?！　↑c(diǎn)評(píng)：本題是一道有關(guān)降低稅率的應(yīng)用題，涉及到農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格、征稅標(biāo)準(zhǔn)、降低稅率、預(yù)計(jì)收購(gòu)量等多個(gè)量。通過(guò)審題，建立了稅收 （萬(wàn)元）和降低稅率 的二次函數(shù)關(guān)系式，再運(yùn)用二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)使問(wèn)題得以解決。在題后又給出設(shè)問(wèn)，目的是要用本節(jié)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題?！締?wèn)題2】某電器公司生產(chǎn)A種瑾的家庭電器。1996年平均每臺(tái)電腦生產(chǎn)成本為5000元，并以純利潤(rùn)20%標(biāo)定出廠價(jià)。1997年開(kāi)始，公司更新設(shè)備，加強(qiáng)管理，逐步推行股份制，從而使生產(chǎn)成本逐年降低。2000年平均每臺(tái)A種型號(hào)的家庭電腦盡管出廠價(jià)僅是1996年出廠價(jià)的80%，但卻實(shí)現(xiàn)了純利潤(rùn)50%的高效率。求（1）2000年每臺(tái)電腦的生產(chǎn)成本；（2）以1996年的生產(chǎn)成本為基數(shù)，用二分法求1996年～2000年生產(chǎn)成本平均每年降低的百分?jǐn)?shù)（精確到0.01）。　　解：（1）設(shè)2000年每臺(tái)電腦的成本為 元，根據(jù)題意，得　　 ，解得 ＝3200（元）?！　。?）設(shè)1996年～2000年間每年平均生產(chǎn)成本降低的百分率為 ，根據(jù)題意，得 ?！　×?，作出 、 的對(duì)應(yīng)值表，如下表：00.150.30.450.60.750.91.0518****-590-2000-2742-3072-3180-3200-3200　　觀察上表，可知 ，說(shuō)明此函數(shù)在區(qū)間（0，0.15）內(nèi)有零點(diǎn) ?！　∪^(qū)間（0，0.15）的中點(diǎn) ，用計(jì)算器可算得 ?！　≡偃。?.075，0.15）的中點(diǎn) ，用計(jì)算器可算得 。同樣做下去，　　由于|0.1078****-0.1054****|＝0.0023****＜0.01，此時(shí)區(qū)間（0.1054****，0.1078****）的兩個(gè)端點(diǎn)精確到0.01的近似值都是0.11，所以原方程精確到0.01的近似解為0.11?！　〈穑海?）2000年每臺(tái)電腦的生產(chǎn)成本為3200元；　?。?）1996年～2000年生產(chǎn)成本平均每年降低的百分?jǐn)?shù)為11%?！　↑c(diǎn)評(píng)：這是一個(gè)降低成本提高效率的問(wèn)題。注意：這里“以純利潤(rùn)20%標(biāo)定出廠價(jià)”指成本的20%。成本+利潤(rùn)＝出廠價(jià)；利潤(rùn)＝成本×利潤(rùn)率。在第（2）問(wèn)中所要解的方程 要求用二分法來(lái)解，主要目的地是熟悉二分法的解題步驟，雖然比較繁雜，但是能讓學(xué)生體會(huì)到“逐步逼近”的數(shù)學(xué)思想?！締?wèn)題3】已知f（x）＝（x＋1）·|x＋1|，若關(guān)于x的方程f（x）＝x＋m有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍?！　↑c(diǎn)評(píng)：本題將函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想有機(jī)地結(jié)合在一起。二次函數(shù)與二次方程有著密切的聯(lián)系，利用二次函數(shù)的直觀性，可以判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)，幫助體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”的思想方法?！締?wèn)題4】求方程f（x）＝x3－x－1＝0在區(qū)間（1，1.5）內(nèi)的實(shí)根，要求準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后第2位。　　解析：用二分法。考查函數(shù)f（x）＝x3－x－1，從一個(gè)兩端函數(shù)值反號(hào)的區(qū)間（1，1.5）開(kāi)始，逐步縮小方程實(shí)數(shù)解所在區(qū)間?！　〗?jīng)計(jì)算，f（1）＝－1＜0，f（1.5）＝0.875＞0，所以函數(shù)f（x）＝x3－x－1在［1，1.5］內(nèi)存在零點(diǎn)?！　∪。?，1.5］的中點(diǎn)1.25，經(jīng)計(jì)算，f（1.25）＝－0.297＜0，又f（1.5）＞0，所以函數(shù)f（x）在［1.25，1.5］內(nèi)存在零點(diǎn)，亦即方程x3－x－1＝0在［1.25，1.5］內(nèi)有解。　　如此下去，得到一系列有根區(qū)間的表：kakbkxkf（xk）的符號(hào)011.51.25－11.251.51.375＋21.251.3751.3125－31.31251.3751.3438＋41.31251.34381.3281＋51.31251.32811.3203－61.32031.32811.3242－至此，可以看出，取x6＝1.32，則能達(dá)到所要的精度， ，即|x*－x6|＜0.005。（x*為方程的準(zhǔn)確解）所以，方程符合條件的實(shí)根是1.32?！　↑c(diǎn)評(píng)：本例題是新的課程標(biāo)準(zhǔn)在原教學(xué)大綱基礎(chǔ)上新增內(nèi)容，本質(zhì)上是為了提升函數(shù)與方程的聯(lián)系這一內(nèi)容。利用二分法求方程實(shí)數(shù)解的過(guò)程比較長(zhǎng)，選取適當(dāng)?shù)某跏紖^(qū)間，可以減少計(jì)算次數(shù)，從而大大減少計(jì)算量，計(jì)算時(shí)最好使用計(jì)算器。計(jì)算過(guò)程中，要及時(shí)檢查求出的近似根是否滿(mǎn)足精度要求，達(dá)到要求即可。當(dāng)計(jì)算出x5＝1.3203時(shí)，區(qū)間［a5，b5］的長(zhǎng)度|b5－a5|＝|1.3281－1.3125|＝0.0156，x5與方程準(zhǔn)確解x*的誤差|x*－x5|≤ ×0.0156（半?yún)^(qū)間長(zhǎng)）＝0.0078，不能保證小于0.005，從而精度也無(wú)法保證達(dá)到0.01。因此需將［a5，b5］再進(jìn)行二分。求函數(shù)零點(diǎn)的二分法，對(duì)函數(shù)圖象是連續(xù)不間斷的一類(lèi)函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)都有效。如果一種計(jì)算方法對(duì)某一類(lèi)問(wèn)題（不是個(gè)別問(wèn)題）都有效，計(jì)算可以一步一步地進(jìn)行，每一步都能得到唯一的結(jié)果，我們常把這，一類(lèi)問(wèn)題的求解過(guò)程叫做解決這一類(lèi)問(wèn)題的一種算法。算法是刻板的、機(jī)械的，有時(shí)要進(jìn)行大量的重復(fù)計(jì)算，但它的優(yōu)點(diǎn)是一種通法，只要按部就班的去做，總會(huì)算出結(jié)果。更大的優(yōu)點(diǎn)是，它可以讓計(jì)算機(jī)來(lái)實(shí)現(xiàn)。例如，我們可以編寫(xiě)程序快速求出一個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)。這是算法的初步，對(duì)以后學(xué)生學(xué)習(xí)算法知識(shí)奠定基礎(chǔ)

a=0，則2x-3=0,不成立
所以a不等于0
若只有一個(gè)0點(diǎn)
則f(-1)*f(1)<=0
(2a+2-3-a)(2a-2-3-a)<=0
(a-1)(a-5)<=0
1<=a<=5
或者判別式為0，同時(shí)x在區(qū)間內(nèi)
4-8a(-3-a)=0
1+6a+2a^2=0
則此時(shí)x=-2/(4a)
所以a=(-3-√7)/2符合

若有兩個(gè)0點(diǎn)
則有4個(gè)條件
(1)判別式>0
a<(-3-√7)/2,a>(-3+√7)/2

以下再分兩種情況
a>0,開(kāi)口向上
(2)對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間內(nèi)
-1<=-2/(4a)<=1
-1<=2/(4a)<=1
a>=2
(3)f(1)>=0,a>=1
(4)f(-1)>=0,a>=5
所以a>=5

a<0,開(kāi)口向下
(2)對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間內(nèi)
-1<=-2/(4a)<=1
-1<=2/(4a)<=1
a<=-1/2
(3)f(1)<=0,a<=1
(4)f(-1)<=0,a<=5
結(jié)合判別式
a<(-3-√7)/2

所以
a<=(-3-√7)/2，a>=1

樓上兄弟的解答好像都有點(diǎn)問(wèn)題哦！
解：當(dāng)m=0是，方程F(x）=mx^2+(m-3)x+1=-3x+1,此方程為直線，
F(x）=-3x+1與x軸在原點(diǎn)右邊有一個(gè)焦點(diǎn)，滿(mǎn)足條件。
當(dāng)m不等于0時(shí)，F(xiàn)(x)為二次函數(shù)，此時(shí)分三種情況：
1、如果f(x)圖像的對(duì)稱(chēng)軸在原點(diǎn)左邊，那么需要滿(mǎn)足下面條件：
對(duì)稱(chēng)軸=-(m-3)/2m<0,
判別式=(m-3)^2-4m>0,
對(duì)稱(chēng)軸到y(tǒng)軸的距離小于f(x)與x軸兩個(gè)焦點(diǎn)距離的一半，
即 |(m-3)/2m|<根號(hào)下[(m-3)^2-4m]/(2|m|)
（這里看起來(lái)很復(fù)雜，但是化簡(jiǎn)就簡(jiǎn)單了，滿(mǎn)足這個(gè)條件的拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)都分別在y軸的兩邊），
解上面三個(gè)不等式得 m<0
所以，當(dāng)f(x)圖像的對(duì)稱(chēng)軸在原點(diǎn)左邊時(shí)滿(mǎn)足f(x)圖像與原點(diǎn)的右側(cè)有一個(gè)交點(diǎn)的m范圍為m<0。
2、如果f(x)圖像的對(duì)稱(chēng)軸在原點(diǎn)的右側(cè)，這時(shí)有一個(gè)或兩個(gè)交點(diǎn)，那么需滿(mǎn)足條件：
對(duì)稱(chēng)軸=-(m-3)/2m>0，且判別式=(m-3)^2-4m>=0，
解得 03、如果f(x)圖像的對(duì)稱(chēng)軸是y軸，那么m=3，不符合條件。
所以，綜合上述各種情況得m的范圍為 m<=1。

（上面兩位的解答時(shí)錯(cuò)的，例如取m=9,代入解得 x=-1/3,只有一個(gè)交點(diǎn)且在原點(diǎn)左邊哦！

高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容主線（三）—運(yùn)算主線

知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖：

對(duì)數(shù)學(xué)最樸實(shí)的理解是：數(shù)學(xué)就是“算”，即“運(yùn)算”?！斑\(yùn)算”包括兩方面，一個(gè)是“運(yùn)算的對(duì)象”，一個(gè)是“運(yùn)算的規(guī)律”。“數(shù)”、“字母”（代數(shù)式）、“指數(shù)”、“對(duì)數(shù)”、“三角函數(shù)”、“向量”等等都是運(yùn)算對(duì)象?！敖Y(jié)合律”、“a+(-a)=0”（即加一項(xiàng)，減一項(xiàng)）、“交換律”、各種“分配律”等等都是運(yùn)算規(guī)律?！斑\(yùn)算”幾乎滲透到數(shù)學(xué)的每一個(gè)角落，運(yùn)算是貫穿數(shù)學(xué)的基本脈絡(luò)，是貫穿數(shù)學(xué)課程的主線，在高中數(shù)學(xué)課程中，發(fā)揮著不可替代的作用。

1．對(duì)運(yùn)算的認(rèn)識(shí)

運(yùn)算是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)基本內(nèi)容。運(yùn)算對(duì)象的不斷擴(kuò)展是數(shù)學(xué)發(fā)展的一條重要線索。從小學(xué)開(kāi)始，學(xué)生接觸的運(yùn)算在不斷地?cái)U(kuò)充，從整數(shù)到分?jǐn)?shù)，從正數(shù)到負(fù)數(shù)，從有理數(shù)到實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)，從數(shù)到字母、到多項(xiàng)式。數(shù)的運(yùn)算，字母運(yùn)算，向量運(yùn)算，函數(shù)、映射、變換運(yùn)算，矩陣運(yùn)算等，都是數(shù)學(xué)運(yùn)算。

從數(shù)的運(yùn)算到字母運(yùn)算，是運(yùn)算的一次跳躍。數(shù)的運(yùn)算可以用來(lái)刻畫(huà)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，解決一個(gè)一個(gè)有關(guān)數(shù)量的具體問(wèn)題。而字母運(yùn)算則可以刻畫(huà)蘊(yùn)涵規(guī)律的一類(lèi)問(wèn)題，解決一類(lèi)問(wèn)題。例如，，就刻畫(huà)了數(shù)運(yùn)算的一個(gè)規(guī)律——結(jié)合律。同時(shí)，字母運(yùn)算也是表達(dá)函數(shù)關(guān)系、刻畫(huà)普遍規(guī)律的工具。從數(shù)運(yùn)算進(jìn)入字母運(yùn)算，使學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一次質(zhì)變，學(xué)生對(duì)運(yùn)算的理解也會(huì)產(chǎn)生一個(gè)跳躍。

從數(shù)的運(yùn)算，到向量運(yùn)算，是認(rèn)識(shí)運(yùn)算的又一次跳躍。運(yùn)算是一類(lèi)映射，在代數(shù)中，最常見(jiàn)的運(yùn)算是這樣的映射，它是二元映射，實(shí)數(shù)的加法和乘法就是二元映射，但是，并不是二元映射都是運(yùn)算，實(shí)際上，大部分二元映射不是運(yùn)算，只有滿(mǎn)足規(guī)律的二元映射才可以成為運(yùn)算，即代數(shù)運(yùn)算。數(shù)的運(yùn)算、多項(xiàng)式運(yùn)算都是型的代數(shù)運(yùn)算，例如，就加法運(yùn)算來(lái)說(shuō)，它們滿(mǎn)足結(jié)合律，有零元，，還滿(mǎn)足分配率。在初中階段，所有的數(shù)學(xué)內(nèi)容都離不開(kāi)運(yùn)算，例如，代數(shù)基本公式，因式分解，方程，不等式，函數(shù)等。向量是可以“算”的，向量的加法、減法運(yùn)算的特征是兩個(gè)向量通過(guò)加法、減法運(yùn)算得到第三個(gè)向量，也滿(mǎn)足結(jié)合律，有零元，，所以向量的加法、減法運(yùn)算是屬于型的代數(shù)運(yùn)算；向量的數(shù)乘運(yùn)算的特征是一個(gè)數(shù)與一個(gè)向量通過(guò)數(shù)乘運(yùn)算得到一個(gè)向量，它滿(mǎn)足一系列運(yùn)算規(guī)則，例如，結(jié)合律：，分配率：，等。所以，數(shù)與向量的數(shù)乘也是一種運(yùn)算，是屬于型的代數(shù)運(yùn)算；向量的數(shù)量積的特征是兩個(gè)向量通過(guò)數(shù)量及運(yùn)算得到一個(gè)數(shù)，同樣，它也滿(mǎn)足一系列的運(yùn)算規(guī)則，例如，分配率：?，等，所以向量的數(shù)量積也是一種運(yùn)算，是屬于型的代數(shù)運(yùn)算。向量的運(yùn)算不同于數(shù)的運(yùn)算，它涵蓋了三種類(lèi)型的代數(shù)運(yùn)算。與數(shù)的運(yùn)算相比，向量的運(yùn)算擴(kuò)充了運(yùn)算對(duì)象。向量運(yùn)算更加清晰地展示了三種類(lèi)型的代數(shù)運(yùn)算的特征以及代數(shù)運(yùn)算的功能，同時(shí)，向量運(yùn)算具有與代數(shù)運(yùn)算不同的一些運(yùn)算規(guī)律，這對(duì)于學(xué)生進(jìn)一步理解其他數(shù)學(xué)運(yùn)算、增強(qiáng)學(xué)生的運(yùn)算能力具有基礎(chǔ)作用。因此，從數(shù)的運(yùn)算到向量運(yùn)算，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的又一次質(zhì)變，學(xué)生對(duì)運(yùn)算的理解也會(huì)更上一層樓。

指數(shù)運(yùn)算、對(duì)數(shù)運(yùn)算、三角運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算等，從形式上看，它們都是型的映射，但是，它們滿(mǎn)足一些運(yùn)算規(guī)律，例如，指數(shù)滿(mǎn)足：等規(guī)律。通常把具有規(guī)律的映射稱(chēng)為“算子”，又稱(chēng)之為一元運(yùn)算。例如，導(dǎo)數(shù)運(yùn)算也是一種運(yùn)算，它滿(mǎn)足兩個(gè)函數(shù)和的導(dǎo)函數(shù)等于先求導(dǎo)再求和，這是運(yùn)算規(guī)律，當(dāng)然，它還滿(mǎn)足其他的規(guī)律。這是對(duì)運(yùn)算的認(rèn)識(shí)的有一次飛躍。

在以后的學(xué)習(xí)中，運(yùn)算對(duì)象還要進(jìn)一步拓展。上述種種運(yùn)算的學(xué)習(xí)，為學(xué)生今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)其它數(shù)學(xué)運(yùn)算，體會(huì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的意義以及運(yùn)算在建構(gòu)數(shù)學(xué)系統(tǒng)中的作用，奠定了基礎(chǔ)。

運(yùn)算時(shí)貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)課程的主線之一。用這種思想認(rèn)識(shí)高中的數(shù)學(xué)對(duì)提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提高解決問(wèn)題的能力是非常有用的。

2．運(yùn)算的作用

（1）運(yùn)算與推理

運(yùn)算本身是代數(shù)研究的重要內(nèi)容，項(xiàng)武義教授認(rèn)為代數(shù)問(wèn)題就是運(yùn)用運(yùn)算和運(yùn)算法則解決問(wèn)題，這樣概括是有道理的。某種意義上來(lái)說(shuō)，在中學(xué)階段，解方程問(wèn)題，解不等式問(wèn)題，一些函數(shù)性質(zhì)的研究，等等，都是代數(shù)問(wèn)題。代數(shù)問(wèn)題的基本特點(diǎn)是不僅要證明在什么條件下“解”存在，而且，要把“解”具體的構(gòu)造出來(lái)，這是一種構(gòu)造證明，運(yùn)算和運(yùn)算規(guī)律是構(gòu)成代數(shù)推理的基本要素。例如，討論二元一次方程組時(shí)，不僅要證明在什么條件下二元一次方程組無(wú)解、有解，而且，還會(huì)把“解”具體地構(gòu)造出來(lái)；又如，利用向量證明問(wèn)題時(shí)，可以把要證明的問(wèn)題結(jié)果“算”出來(lái)。

在運(yùn)算過(guò)程中，每一步運(yùn)算都要依據(jù)運(yùn)算規(guī)律，運(yùn)算規(guī)律的作用類(lèi)似于幾何證明中的公理，它是代數(shù)推理的前提和基本依據(jù)。運(yùn)算過(guò)程本身就是代數(shù)推理的過(guò)程。因此，運(yùn)算與推理有著密切的聯(lián)系，可以說(shuō)，運(yùn)算也是一種推理，運(yùn)算可以“證明問(wèn)題”，這是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要“留給學(xué)生”的最重要的思想，因此，運(yùn)算的學(xué)習(xí)對(duì)于學(xué)生的邏輯推理能力同樣具有重要作用。

（2）運(yùn)算與算法

在一定意義下，算法是通過(guò)計(jì)算機(jī)解決問(wèn)題的，算法有計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，構(gòu)成算法的基本要素是運(yùn)算。計(jì)算機(jī)能完成的運(yùn)算主要包括：算術(shù)運(yùn)算，邏輯運(yùn)算（與、或、非等），關(guān)系運(yùn)算（等），函數(shù)運(yùn)算，等。因此，運(yùn)算時(shí)算法的基本要素，算法的設(shè)計(jì)要以運(yùn)算和運(yùn)算律為依據(jù)。使用各種運(yùn)算和運(yùn)算規(guī)律對(duì)于理解算法、選擇算法、優(yōu)化算法具有重要作用。

（3）運(yùn)算與恒等變形

在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，需要進(jìn)行各種工各樣的恒等變形，把復(fù)雜問(wèn)題變成簡(jiǎn)單問(wèn)題，例如，在解決一元二次方程時(shí)，我們通過(guò)配方法，實(shí)現(xiàn)了降冪的目的，把一元二次方程變成一元一次方程，配方法是通過(guò)恒等變形完成的，這些恒等變形是通過(guò)反復(fù)利用運(yùn)算規(guī)律實(shí)現(xiàn)的。又如，在三角函數(shù)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，無(wú)論是證明，還是求解，都是在運(yùn)用各種三角函數(shù)基本運(yùn)算法則進(jìn)行恒等變形，通過(guò)恒等變形把我們不會(huì)解的問(wèn)題變成我們會(huì)解的問(wèn)題。因此，運(yùn)算和運(yùn)算法則的學(xué)習(xí)，對(duì)于理解恒等變形的原理，提高恒等變形的能力是非常重要的。

3．運(yùn)算內(nèi)容的設(shè)計(jì)

在高中數(shù)學(xué)課程中，主要有幾部分內(nèi)容集中的介紹了運(yùn)算：指數(shù)運(yùn)算；對(duì)數(shù)運(yùn)算；三角函數(shù)運(yùn)算；向量運(yùn)算，包括平面向量和空間向量；復(fù)數(shù)運(yùn)算；導(dǎo)數(shù)運(yùn)算；等。

高中數(shù)學(xué)課程在必修4和選修2—1中安排了平面向量與空間向量的內(nèi)容；在選修1-2和選修2-2中安排了熟悉擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入的內(nèi)容；在必修的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)中也安排了有關(guān)的運(yùn)算，在選修1、選修2中安排了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算。

保持運(yùn)算的封閉和保持基本運(yùn)算法則成立是熟悉擴(kuò)充的動(dòng)力之一。例如，為了保持除法的封閉性，促使我們把整數(shù)拓展到分?jǐn)?shù)；為了保持減法的封閉性，促使我們把正數(shù)拓展到負(fù)數(shù)；保持開(kāi)方等運(yùn)算的封閉性是促使實(shí)數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系的原因之一。每進(jìn)行一次數(shù)的拓展，我們都需要討論：在新的數(shù)中，原有的數(shù)的運(yùn)算規(guī)律在新的數(shù)中是否保持？例如，從正數(shù)拓展到負(fù)數(shù)，為了保持乘法對(duì)加法的分配率成立，我們需要定義：，，。復(fù)數(shù)保持實(shí)數(shù)的運(yùn)算規(guī)律。但是，實(shí)數(shù)是有序的，復(fù)數(shù)是無(wú)序的。

在指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角函數(shù)等內(nèi)容中，蘊(yùn)含著一些新的運(yùn)算法則。掌握這些特殊的運(yùn)算規(guī)律，是理解相關(guān)數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)。

指數(shù)運(yùn)算滿(mǎn)足的最基本的運(yùn)算規(guī)律是，若用表示指數(shù)函數(shù)，即，則上述性質(zhì)可表示為。這一運(yùn)算規(guī)律表明指數(shù)運(yùn)算把加法運(yùn)算變?yōu)槌朔ㄟ\(yùn)算，這正是指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)快的原因。指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，特別是指數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)性質(zhì)就是由這一運(yùn)算規(guī)律決定的。指數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算律還有：

（其中，

對(duì)數(shù)運(yùn)算滿(mǎn)足的最基本的運(yùn)算規(guī)律是。若用表示對(duì)數(shù)函數(shù)，即，則上述性質(zhì)可表示為。這一運(yùn)算規(guī)律表明對(duì)數(shù)運(yùn)算把乘法運(yùn)算變?yōu)榧臃ㄟ\(yùn)算，這正是指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)慢的原因。對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，特別是對(duì)數(shù)函數(shù)的增長(zhǎng)性質(zhì)就是由這一運(yùn)算規(guī)律決定的。指數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算律還有：

運(yùn)算規(guī)律表明了對(duì)數(shù)運(yùn)算與指數(shù)運(yùn)算的關(guān)系，極對(duì)數(shù)運(yùn)算與指數(shù)運(yùn)算互為逆運(yùn)算。因此，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)。

三角運(yùn)算，以正弦運(yùn)算為例，它所滿(mǎn)足的基本運(yùn)算律是：

后兩個(gè)運(yùn)算是導(dǎo)數(shù)運(yùn)算所特有的。

對(duì)于上述運(yùn)算與運(yùn)算律的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生理解運(yùn)算的意義以及運(yùn)算律對(duì)研究運(yùn)算的重要性。

函授：函授教學(xué)主要以有計(jì)劃、有組織、有指導(dǎo)的自學(xué)為主，并組織系統(tǒng)的集中面授，函授教學(xué)的主要環(huán)節(jié)有：輔導(dǎo)答疑、作業(yè)、試驗(yàn)、實(shí)習(xí)、考試、課程設(shè)計(jì)、畢業(yè)設(shè)計(jì)及答辯。每學(xué)年安排3次左右為期10天或半個(gè)月的集中面授。面向教師招生的院校，面授時(shí)間一般為寒暑假。

我建議你不要學(xué)習(xí)函授課程,函授教育分為兩種
1、國(guó)家承認(rèn)學(xué)歷（需要參加入學(xué)考）。
2、國(guó)家不承認(rèn)學(xué)歷（不需要參加入學(xué)考）。
但是函授教育大部分是不承認(rèn)學(xué)歷的。
結(jié)合上面兩種情況，我建議你不要學(xué)習(xí)函授。

你說(shuō)的一元函數(shù),就是y=f(x)類(lèi)型的,它表示平面曲線,二元函數(shù)就是z=f(x,y)類(lèi)型的,它表示空間曲線面.三元的,要用這個(gè)思路來(lái)想,只能加上時(shí)間這一維了.
至于更多維的函函數(shù),暫時(shí)沒(méi)有直觀的圖來(lái)表示,但可以理解.
比如天氣預(yù)報(bào),受太多因素影響,比如溫度,濕度,氣壓,風(fēng)速,陽(yáng)光,地勢(shì),地型等等,這就是多維問(wèn)題了.

你好：
一般地，在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有（唯一）確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)是自變量，y是x的（ 函數(shù) ） 。
“在一個(gè)變化過(guò)程中”是指x與y分別取不同的數(shù)，函數(shù)發(fā)生變化。
很高興為你解答：