函數(shù)的有界和無(wú)界搞不懂，可不可以舉個(gè)例區(qū)分下

值域是有限區(qū)間的函數(shù)，是有界函數(shù)。值域是無(wú)限區(qū)間的函數(shù)是無(wú)界函數(shù)。

例如，正弦函數(shù)y=sinx，對(duì)任意x∈(-∞，+∞)，|sinx|≤1恒成立，所以y=sinx是R上的有界函數(shù)。

有的函數(shù)在定義域的部分區(qū)間上可能是有界的。

例如，一次函數(shù)y=2x+1，定義域(-∞，+∞)，值域(-∞，+∞).它在定義域(-∞，+∞)上是無(wú)界的。但是它在區(qū)間（-1，2）上，值域（-1，5），它是有界的。事實(shí)上，它在定義域的任意的真子集上都是有界的。

有的函數(shù)在定義域的部分區(qū)間上可能是無(wú)界的。

例如，反比例函數(shù)y=1/x，定義域(-∞，0)∪(0，+∞)，值域(-∞，0)∪(0，+∞).它在定義域(-∞，0)∪(0，+∞)上是無(wú)界的。它在區(qū)間（0，1）內(nèi)，值域（1，+∞），它是無(wú)界的. 當(dāng)然，它在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)，值域（0，1），它是有界的。

擴(kuò)展資料：

有界函數(shù)并不一定是連續(xù)的。根據(jù)定義，?在D上有上（下）界，則意味著值域?(D)是一個(gè)有上（下）界的數(shù)集。根據(jù)確界原理，?在定義域上有上（下）確界。一個(gè)特例是有界數(shù)列，其中X是所有自然數(shù)所組成的集合N。由? (x)=sinx所定義的函數(shù)f:R→R是有界的。當(dāng)x越來(lái)越接近-1或1時(shí)，函數(shù)的值就變得越來(lái)越大。

由? (x)=sinx所定義的函數(shù)f:R→R是有界的。如果正弦函數(shù)是定義在所有復(fù)數(shù)的集合上，則不再是有界的。 函數(shù) （x不等于-1或1）是無(wú)界的。當(dāng)x越來(lái)越接近-1或1時(shí)，函數(shù)的值就變得越來(lái)越大。但是，如果把函數(shù)的定義域限制為[2, ∞).，則函數(shù)就是有界的。

函數(shù)是有界的。

任何一個(gè)連續(xù)函數(shù)f:[0,1] →R都是有界的。 考慮這樣一個(gè)函數(shù)：當(dāng)x是有理數(shù)時(shí)，函數(shù)的值是0，而當(dāng)x是無(wú)理數(shù)時(shí)，函數(shù)的值是1。這個(gè)函數(shù)是有界的。有界函數(shù)并不一定是連續(xù)的。

有界函數(shù)的圖形必介于兩條平行于x軸的直線y=-M和y=M之間（當(dāng)自變量為x時(shí)），籠統(tǒng)地說(shuō)某個(gè)函數(shù)是有界函數(shù)或無(wú)界函數(shù)是不確切的，必須指明所考慮的區(qū)間。

例如，函數(shù)??在??內(nèi)是有界的，因?yàn)閷?duì)任意?，存在M=1，使得??恒成立。

函數(shù)?在開區(qū)間??上是無(wú)界的。

函數(shù)??在開區(qū)間(0，1)內(nèi)是無(wú)界的，而函數(shù)??在區(qū)間[1，2]內(nèi)是有界的。

函數(shù)??是有界函數(shù)，因?yàn)樵谄涠x域??內(nèi)恒有??。

值域是有限區(qū)間的函數(shù)，是有界函數(shù)。值域是無(wú)限區(qū)間的函數(shù)是無(wú)界函數(shù)。

例如，正弦函數(shù)y=sinx，對(duì)任意x∈(-∞，+∞)，|sinx|≤1恒成立，所以y=sinx是R上的有界函數(shù)。

有的函數(shù)在定義域的部分區(qū)間上可能是有界的。

例如，一次函數(shù)y=2x+1，定義域(-∞，+∞)，值域(-∞，+∞).它在定義域(-∞，+∞)上是無(wú)界的。但是它在區(qū)間（-1，2）上，值域（-1，5），它是有界的。事實(shí)上，它在定義域的任意的真子集上都是有界的。

有的函數(shù)在定義域的部分區(qū)間上可能是無(wú)界的。

例如，反比例函數(shù)y=1/x，定義域(-∞，0)∪(0，+∞)，值域(-∞，0)∪(0，+∞).它在定義域(-∞，0)∪(0，+∞)上是無(wú)界的。它在區(qū)間（0，1）內(nèi)，值域（1，+∞），它是無(wú)界的. 當(dāng)然，它在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)，值域（0，1），它是有界的。

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擴(kuò)展資料：

有界函數(shù)并不一定是連續(xù)的。根據(jù)定義，?在D上有上（下）界，則意味著值域?(D)是一個(gè)有上（下）界的數(shù)集。根據(jù)確界原理，?在定義域上有上（下）確界。一個(gè)特例是有界數(shù)列，其中X是所有自然數(shù)所組成的集合N。由? (x)=sinx所定義的函數(shù)f:R→R是有界的。當(dāng)x越來(lái)越接近-1或1時(shí)，函數(shù)的值就變得越來(lái)越大。

由? (x)=sinx所定義的函數(shù)f:R→R是有界的。如果正弦函數(shù)是定義在所有復(fù)數(shù)的集合上，則不再是有界的。 函數(shù) （x不等于-1或1）是無(wú)界的。當(dāng)x越來(lái)越接近-1或1時(shí)，函數(shù)的值就變得越來(lái)越大。但是，如果把函數(shù)的定義域限制為[2, ∞).，則函數(shù)就是有界的。

函數(shù)是有界的。

任何一個(gè)連續(xù)函數(shù)f:[0,1] →R都是有界的。 考慮這樣一個(gè)函數(shù)：當(dāng)x是有理數(shù)時(shí)，函數(shù)的值是0，而當(dāng)x是無(wú)理數(shù)時(shí)，函數(shù)的值是1。這個(gè)函數(shù)是有界的。有界函數(shù)并不一定是連續(xù)的。

有界函數(shù)的圖形必介于兩條平行于x軸的直線y=-M和y=M之間（當(dāng)自變量為x時(shí)），籠統(tǒng)地說(shuō)某個(gè)函數(shù)是有界函數(shù)或無(wú)界函數(shù)是不確切的，必須指明所考慮的區(qū)間。

例如，函數(shù)?

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?在?

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?內(nèi)是有界的，因?yàn)閷?duì)任意

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?，存在M=1，使得?

向左轉(zhuǎn)|向右轉(zhuǎn)

?恒成立。

函數(shù)

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?在開區(qū)間?

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?上是無(wú)界的。

函數(shù)?

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?在開區(qū)間(0，1)內(nèi)是無(wú)界的，而函數(shù)?

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?在區(qū)間[1，2]內(nèi)是有界的。

函數(shù)?

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?是有界函數(shù)，因?yàn)樵谄涠x域?

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?內(nèi)恒有?

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