拉格朗日中值定理是什么？

是指直角坐標(biāo)系中一個(gè)光滑連續(xù)曲線上任意兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差與橫坐標(biāo)之差的比值等于橫坐標(biāo)兩點(diǎn)之間某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；相當(dāng)于在曲線上任意兩點(diǎn)間能找到一點(diǎn)，這點(diǎn)的切線與任意兩點(diǎn)的連線平行。

定義
又稱拉氏定理。
　　如果函數(shù)f(x)在（a，b）上可導(dǎo)，[a,b]上連續(xù)，則必有一ξ∈[a,b]使得f'(ξ)*(b-a)=f(b)-f(a)
令f(x)為y，所以該公式可寫成△y=f'(x+θ△x)*△x
(0<θ<1)
　　上式給出了自變量取得的有限增量△x時(shí)，函數(shù)增量△y的準(zhǔn)確表達(dá)式，因此本定理也叫有限增量定理。
定理內(nèi)容
　　若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]滿足以下條件:
　　(1)在[a,b]連續(xù)
　　(2)在(a,b)可導(dǎo)
　　則在(a,b)中至少存在一點(diǎn)f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
a　　使或f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)
成立，其中a證明:
　　把定理里面的c換成x再不定積分得原函數(shù)f(x)={[f(b)-f(a)]/(b-a)}x.
　　做輔助函數(shù)G(x)=f(x)-{[f(b)-f(a)]/(b-a)}x.
　　易證明此函數(shù)在該區(qū)間滿足條件:
　　1.G(a)=G(b);
　　2.G(x)在[a,b]連續(xù);
　　3.G(x)在(a,b)可導(dǎo).
　　此即羅爾定理?xiàng)l件,由羅爾定理?xiàng)l件即證
幾何意義
　　若連續(xù)曲線y=f(x)在A(a,f(a)),B(b,f(b))兩點(diǎn)間的每一點(diǎn)處都有不垂直于x軸的切線,則曲線在A,B間至少存在一點(diǎn)P(c,f(c)),使得該曲線在P點(diǎn)的切線與割線AB平行.

f(b)-f(a)=f‘(ζ)(b-a)
就是說一段定義域?yàn)閇b,a]的連續(xù)函數(shù)，必存在一點(diǎn)ζ，f‘(ζ)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣
拉格朗日中值定理的推廣是柯西中值定理

若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]滿足以下條件: 　　(1)在[a,b]連續(xù) 　　(2)在(a,b)可導(dǎo) 　　則在(a,b)中至少存在一點(diǎn)c使f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a) a