那里可以找到教案？

第四講 組合
日常生活中有很多“分組”問題.如在體育比賽中，把參賽隊分為幾個組，從全班同學(xué)中選出幾人參加某項活動等等.這種“分組”問題，就是我們將要討論的組合問題，這里，我們將著重研究有多少種分組方法的問題.
例如 某客輪航行于天津、青島、大連三個城市之間.那么，船票共有幾種價格（往返票價相同）？
注意到由天津到青島的票價與從青島到天津的票價是一樣的，所以問題實際上就是計算從三個城市中取兩個城市，有多少種不同的取法，即這時只與考慮的兩個城市有關(guān)而與兩個城市的順序無關(guān).
由枚舉法知，共有下面的三種票價：
天津←→青島
青島←→大連
大連←→天津
我們把研究對象（如天津、青島、大連）看作元素，那么上面的問題就是從3個元素中取出2個，組成一組的問題，我們把每一組叫做一個組合，把所有的組合的個數(shù)叫做組合數(shù)，上面的問題就是要求組合數(shù).
一般地，從n個不同元素中取出m個（m≤n）元素組成一組不計較組內(nèi)各元素的次序，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.
由組合的定義可以看出，兩個組合是否相同，只與這兩個組合中的元素有關(guān)，而與取到這些元素的先后順序無關(guān).只有當兩個組合中的元素不完全相同時，它們才是不同的組合.
從n個不同元素中取出m個元素（m≤n）的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個不同元素的組合數(shù).記作Cmn.
如上面的例子，就是要計算從3個城市中取2個城市的組合數(shù)C23，由枚舉法得出的結(jié)論知：C23＝3.
那么它是怎樣計算出來的呢？
從第三講開頭的例子，即準備天津、青島、大連三個城市之間的船票的問題發(fā)現(xiàn)，這個問題實際上可以這樣分兩步完成：第一步是從三個城市中選兩個城市，是一個組合問題，由組合數(shù)公式，有取C23法.第二步是將取出的兩個城市進行排列，由全排列公式，有P23種排法，所以，由乘法原理得到P23＝C23×P23.故有：
C23＝P23÷P22＝（3×2）÷2＝3.

一般地，求從n個不同元素中取出m個元素排成一列的排列數(shù)Pmn可以分兩步求得：
第一步：從n個不同元素中取出m個元素組成一組，共有Cmn種方法；
第二步：將每一個組合中的m個元素進行全排列，共有Pmm種排法.
故由乘法原理得到：
Pmn＝Cmn?Pmm
因此

這就是組合數(shù)公式.
例1 計算：①C26，C46；②C27，C57.

注意到上面的結(jié)果中，有C26=C46，C27=C57.
一般地，組合數(shù)有下面的重要性質(zhì)：
Cmn＝Cn-mn （m≤n）
這個公式是很容易理解的，它的直觀意義是：Cmn表示從n個元素中取出m個元素組成一組的所有分組方法.Cn-mn表示從n個元素中取出（n—m）個元素組成一組的所有分組方法.顯然，從n個元素中選出m個元素的分組方法恰是從n個元素中選m個元素剩下的（n-m）個元素的分組方法.例如，從5人中選3人開會的方法和從5人中選出2人不去開會的方法是一樣多的，即C35=C25.

規(guī)定 Cnn＝1， C0n＝1.
例2 計算：①C1982****；②C5556；③C98100-2C1001****.

例3 從分別寫有1、3、5、7、9的五張卡片中任取兩張，作成一道兩個一位數(shù)的乘法題，問：
①有多少個不同的乘積？
②有多少個不同的乘法算式？
分析 ①中，要考慮有多少個不同乘積.由于只要從5張卡片中取兩張，就可以得到一個乘積，所以，有多少個乘積只與所取的卡片有關(guān)，而與卡片取出的順序無關(guān)，所以這是一個組合問題.
②中，要考慮有多少個不同的乘法算式，它不僅與兩張卡片上的數(shù)字有關(guān)，而且與取到兩張卡片的順序有關(guān)，所以這是一個排列問題.
解：①由組合數(shù)公式，共有

個不同的乘積.
②由排列數(shù)公式，共有
P25＝ 5×4＝20
種不同的乘法算式.
例4 在一個圓周上有10個點，以這些點為端點或頂點，可以畫出多少不同的①直線段，②三角形，③四邊形？
分析 由于10個點全在圓周上，所以這10個點沒有三點共線，故只要在10個點中取2個點，就可以畫出一條線段；在10個點中取3個點，就可以畫出一個三角形；在10個點中取4個點，就可以畫出一個四邊形，三個問題都是組合問題.
解：由組合數(shù)公式.

例5 如下圖，問：
①下左圖中，共有多少條線段？
②下右圖中，共有多少個角？

分析 ①中，在線段AB上共有7個點（包括端點A、B）.注意到，只要在這七個點中選出兩個點，就有一條以這兩個點為端點的線段，所以，這是一個組合問題，而C27表示從7個點中取兩個不同點的所有取法，每種取法可以確定一條線段，所以共有C27條線段.
②中，從O點出發(fā)的射線一共有11條，它們是OA， OP1，OP2，OP3，…，OP9，OB.注意到每兩條射線可以形成一個角，所以，只要看從11條射線中取兩條射線有多少種取法，就有多少個角.顯然，是組合問題，共有C211種不同的取法，所以，可組成C211個角.
解：①由組合數(shù)公式知，共有

條不同的線段；
②由組合數(shù)公式知，共有

例6 某校舉行排球單循環(huán)賽，有12個隊參加.問：共需要進行多少場比賽？
分析 因為比賽是單循環(huán)制的，所以，12個隊中的每兩個隊都要進行一場比賽，并且比賽的場次只與兩個隊的選取有關(guān)而與兩個隊選出的順序無關(guān).所以，這是一個在12個隊中取2個隊的組合問題.
解： 由組合數(shù)公式知，共需進行

場比賽.
例7 某班要在42名同學(xué)中選出3名同學(xué)去參加夏令營，問共有多少種選法？如果在42人中選3人站成一排，有多少種站法？
分析 要在42人中選3人去參加夏令營，那么，所有的選法只與選出的同學(xué)有關(guān)，而與三名同學(xué)被選出的順序無關(guān).所以，應(yīng)用組合數(shù)公式，共有C343種不同的選法.
要在42人中選出3人站成一排，那么，所有的站法不僅與選出的同學(xué)有關(guān)，而且與三名同學(xué)被選出的順序有關(guān).所以，應(yīng)用排列數(shù)公式，共有P342種不同的站法.
解： 由組合數(shù)公式，共有

種不同的選法；
由排列數(shù)公式，共有
P342＝42×41×40＝68880
種不同的站法.