等差數(shù)列和等比數(shù)列知識點總結(jié)

1.(2010全國卷2理數(shù))如果等差數(shù)列{ an }中，a3 + a4 + a5 = 12，那么 a1 + a2 + ……+a7 =
（A）14 （B）21 （C）28 （D）35
【答案】C
2.（2010安徽文數(shù)）設(shè)數(shù)列 { an } 的前n項和 Sn = n^2 ，則 a8 的值為
（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64
【答案】A
3.（2010重慶文數(shù)）在等差數(shù)列 { an } 中，a1 + a9 = 10 ，則 a5 的值為
（A）5 （B）6 （C）8 （D）10
【答案】A
4.（2010福建理數(shù)）設(shè)等差數(shù)列 { an } 的前n項和為 Sn ,若a1= -11 ,a4 + a6 = -6 , 則當 Sn 取最小值時,n等于
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
5.（2010廣東理數(shù)）已知 { an } 為等比數(shù)列，Sn是它的前n項和。若 a2·a3 = 2a1 ， 且a4 與2a7 的等差中項為 5/4 ，則 S5 =
A．35 B.33 C.31 D.29
【答案】C
6.（2010湖北文數(shù)）已知等比數(shù)列{ am }中，各項都是正數(shù)，且 a1，(1/2)a3 ，2a2 成等差數(shù)列，則（a9 + a10）/ （a7 + a8） =
A. 1 + √2 B.1 - √2 C.3 + 3√2 D.3 - 2√2
【答案】C
7.（2010福建理數(shù)）設(shè)等差數(shù)列 { an } 的前n項和為Sn ,若a1= -11 ,a4 + a6 = -6 ,則當 Sn 取最小值時,n等于
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
8.（2010遼寧文數(shù)）設(shè) Sn 為等差數(shù)列 { an } 的前 n 項和，若S3 = 3 ，S6 = 24 ，則a9 = 。
【答案】15

　《小故事大道理》讀后感

　　這幾天一口氣讀完了《小故事大道理》這本書。書中共收集了469個小故事讀后沉思，頓覺豁然開朗。感到世間充滿了美好和快樂，沒有什么事情可以把人難倒。生活中心態(tài)很重要，做人心胸要開闊，命運要自己掌握。為人要厚道，待人要誠實，困難面前要堅強，這世界上沒有翻不過去的山，沒有過不去的河。摘記幾篇大家共勉。

　　丟了一只鞋

　　一個老人在高速行駛的火車上不小心把剛買的新鞋從窗口上弄出去了一只，周圍的人倍感惋惜，不料那老人立即把第二只鞋也從窗口扔了下去。這舉動更讓人大吃一驚?！笆沁@樣，老人解釋道，這一只鞋無論多么昂貴，對我而言都沒有用了，如果有誰能撿到一雙鞋子，說不定他還能穿呢！”
　　大道理：與其抱殘守缺，不如就地放棄。事物的價值不在于誰占有，而在于如何占有。失去不一定是損失，也可能是獲得。

　　難解的結(jié)

　　古羅馬時代，一位預(yù)言家在一座城市內(nèi)設(shè)下可一個奇特難解的結(jié)，并且預(yù)言，將來解開這個結(jié)的人必定是亞細亞的統(tǒng)治者。長久以來，雖然許多人勇敢嘗試，但是，依然無人解開這個結(jié)。
　　當時身為馬其頓將軍的亞歷山大，也聽說了關(guān)于這個結(jié)的預(yù)言，于是趁著駐兵這個城市之時，試著去打開這個結(jié)。
　　亞歷山大連續(xù)嘗試了好幾個月，用盡了各種方法都無法打開這個結(jié)，真是又急又氣。
　　有一天，他試著解開這個結(jié)又失敗后，恨恨地說：“我再也不要看到這個結(jié)了?！?br/>　　當他強迫自己轉(zhuǎn)移注意力，不再去想這個結(jié)時，忽然腦筋一轉(zhuǎn)，他抽出了身上的佩劍，一劍將結(jié)砍成兩半兒——結(jié)打開了。
　　大道理：勇敢地跳出思想的繩索，打開心結(jié)。過后會發(fā)現(xiàn)，事情實際上沒有看到的和想象中的那么困難。積極一點，什么都會給你讓路。

　　報復(fù)

　　一匹馬找到一塊豐美的草地，常到這里飽餐一頓。可是后來。一只鹿也發(fā)現(xiàn)了這個秘密，趁著馬不在時，也跑到這來吃點兒草。馬發(fā)現(xiàn)了這件事，覺得鹿侵占了自己的利益，想報復(fù)鹿，但自己又無能為力，就請人來幫忙。人說：“我也沒有辦法，除非你套上轡頭，我騎上你，才能追上它。”
　　人騎著馬，懲罰了鹿。之后，便把馬拴在了槽頭。
　　這時，馬才省悟過來。長嘆道：“我真傻，為著一點小事而圖報復(fù)，反而使自己淪為奴隸。”
　　大道理：當你企圖去傷害別人時，其實也是在為自己制造災(zāi)難。不要逞一時意氣之快。給自己帶來沉重的傷害。

　　過渡

　　在一個黃昏，靜靜的渡口來了四個人，一個富人，一個當官的，一個武士，還有一個詩人。他們都要求老船公把自己先渡過去。老船公捋著胡子胡子：“把你們的特長說出來我就擺渡你們過去。”
　　商人掏出白花花的銀子說：“我有的是金錢、”當官的不甘示弱：“你要擺渡我過河，我可以讓你當一個縣官。”武士急了：“我要過河，否則......?！闭f著揚揚握緊的拳頭?！澳隳?？”老船公問詩人。“唉，我一無所有，可我如果趕不回去，家中的妻子兒女一定會急壞的?！?br/>　　“上船吧！”老船公揮了揮手?！澳阋呀?jīng)顯示了你的特長，這是最寶貴的財富?！痹娙艘苫笾狭舜骸袄先思?，能告訴我答案嗎啊？”“你的一聲長嘆，你臉上的憂慮是你最好的表白?！崩先艘贿厯u船一邊說：“你的真情流露是四個人中最寶貴的。”
　　大道理：心靈的真誠是人性最可寶貴的底色。真誠心相對，則會有如沐春風，如啜佳茗，如晤故人之感。權(quán)勢、金錢、武力不是萬能的，它們也有蒼白無力的時候。

數(shù)列（sequence of number）是以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)，是一列有序的數(shù)。數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項。排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第1項（通常也叫做首項），排在第二位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第2項……排在第n位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第n項，通常用an表示。
數(shù)列的各項都是正數(shù)的為正項數(shù)列；
從第2項起，每一項都大于它的前一項的枯模數(shù)列叫做遞增數(shù)列；如：1，2，3，4，5，6，7；
從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列叫做遞減數(shù)列；如：8，7，6，5，4，3，2，1；
從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列叫做擺動數(shù)列（搖擺數(shù)列）；
各項呈周期性變化的數(shù)列叫做周雀稿期數(shù)列（如三角函數(shù)沒歲緩）；
各項相等的數(shù)列叫做常數(shù)數(shù)列（如：2，2，2，2，2，2，2，2，2）。

3．等差數(shù)列的基本性質(zhì)

⑴公差為d的等差數(shù)列，各項同加一數(shù)所得數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差仍為d．

⑵公差為d的等差數(shù)列，各項同乘以常數(shù)k所得數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差為kd．

⑶若{ a }、{ b }為等差數(shù)列，則{ a ±b }與{ka ＋b}(k、b為非零常數(shù))也是等差數(shù)列．

⑷對任何m、n ，在等差數(shù)列{ a }中有：a = a + (n－m)d，特別地，當m = 1時，便得等差數(shù)列的通項公式，此式較等差數(shù)列的通項公式更具有一般性．

⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆為自然數(shù)，且l + k + p + … = m + n + r + … （兩邊的自然數(shù)個數(shù)相等），那么當{a }為等差數(shù)列時，有：a + a + a + … = a + a + a + … ．

⑹公差為d的等差數(shù)列，從中取出等距離的項，構(gòu)成一個新數(shù)列，此數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差為kd( k為取出項數(shù)之差)．

⑺如果{ a }是等差數(shù)列，公差為d，那么，a ，a ，…，a 、a 也是等差數(shù)列，其公差為－d；在等差數(shù)列{ a }中，a －a = a －a = md ．(其中m、k、 )

⑻在等差數(shù)列中，從第一項起，每一項(有窮數(shù)列末項除外)都是它前后兩項的等差中項．

⑼當公差d＞0時，等差數(shù)列中的數(shù)隨項數(shù)的增大而增大；當d＜0時，等差數(shù)列中的數(shù)隨項數(shù)的減少而減??；d＝0時，等差數(shù)列中的數(shù)等于一個常數(shù)．

⑽設(shè)a ，a ，a 為等差數(shù)列中的三項，且a 與a ，a 與a 的項距差之比 = （ ≠－1），則a = ．

5．等差數(shù)列前n項和公式S 的基本性質(zhì)

⑴數(shù)列{ a }為等差數(shù)列的充要條件是：數(shù)列{ a }的前n項和S 可以寫成S = an + bn的形式(其中a、b為常數(shù))．

⑵在等差數(shù)列{ a }中，當項數(shù)為2n (n N )時，S －S = nd， = ；當項數(shù)為(2n－1) (n )時，S －S = a ， = ．

⑶若數(shù)列{ a }為等差數(shù)列，則S ，S －S ，S －S ，…仍然成等差數(shù)列，公差為 ．

⑷若兩個等差數(shù)列{ a }、{ b }的前n項和分別是S 、T (n為奇數(shù))，則 = ．

⑸在等差數(shù)列{ a }中，S = a，S = b (n＞m)，則S = (a－b)．

⑹等差數(shù)列{a }中， 是n的一次函數(shù)，且點（n， ）均在直線y = x + (a － )上．

⑺記等差數(shù)列{a }的前n項和為S ．①若a ＞0，公差d＜0，則當a ≥0且a ≤0時，S 最大；②若a ＜0 ，公差d＞0，則當a ≤0且a ≥0時，S 最?。?br>
3．等比數(shù)列的基本性質(zhì)

⑴公比為q的等比數(shù)列，從中取出等距離的項，構(gòu)成一個新數(shù)列，此數(shù)列仍是等比數(shù)列，其公比為q ( m為等距離的項數(shù)之差)．

⑵對任何m、n ，在等比數(shù)列{ a }中有：a = a · q ，特別地，當m = 1時，便得等比數(shù)列的通項公式，此式較等比數(shù)列的通項公式更具有普遍性．

⑶一般地，如果t ，k，p，…，m，n，r，…皆為自然數(shù)，且t + k，p，…，m + … = m + n + r + … (兩邊的自然數(shù)個數(shù)相等)，那么當{a }為等比數(shù)列時，有：a ．a(chǎn) ．a(chǎn) ．… = a ．a(chǎn) ．a(chǎn) ．… ．．

⑷若{ a }是公比為q的等比數(shù)列，則{| a |}、{a }、{ka }、{ }也是等比數(shù)列，其公比分別為| q |}、{q }、{q}、{ }．

⑸如果{ a }是等比數(shù)列，公比為q，那么，a ，a ，a ，…，a ，…是以q 為公比的等比數(shù)列．

⑹如果{ a }是等比數(shù)列，那么對任意在n ，都有a ·a = a ·q ＞0．

⑺兩個等比數(shù)列各對應(yīng)項的積組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，且公比等于這兩個數(shù)列的公比的積．

⑻當q＞1且a ＞0或0＜q＜1且a ＜0時，等比數(shù)列為遞增數(shù)列；當a ＞0且0＜q＜1或a ＜0且q＞1時，等比數(shù)列為遞減數(shù)列；當q = 1時，等比數(shù)列為常數(shù)列；當q＜0時，等比數(shù)列為擺動數(shù)列．

4．等比數(shù)列前n項和公式S 的基本性質(zhì)

⑴如果數(shù)列{a }是公比為q 的等比數(shù)列，那么，它的前n項和公式是S =

也就是說，公比為q的等比數(shù)列的前n項和公式是q的分段函數(shù)的一系列函數(shù)值，分段的界限是在q = 1處．因此，使用等比數(shù)列的前n項和公式，必須要弄清公比q是可能等于1還是必不等于1，如果q可能等于1，則需分q = 1和q≠1進行討論．

⑵當已知a ，q，n時，用公式S = ；當已知a ，q，a 時，用公式S = ．

⑶若S 是以q為公比的等比數(shù)列，則有S = S ＋qS ．⑵

⑷若數(shù)列{ a }為等比數(shù)列，則S ，S －S ，S －S ，…仍然成等比數(shù)列．

⑸若項數(shù)為3n的等比數(shù)列(q≠－1)前n項和與前n項積分別為S 與T ，次n項和與次n項積分別為S 與T ，最后n項和與n項積分別為S 與T ，則S ，S ，S 成等比數(shù)列，T ，T ，T 亦成等比數(shù)列．

謝謝了?。。?！

列子（列御寇，約公元前450年-約公元前375年之間），東周鄭國圃田（今河南鄭州）人，東周著名的思想家、哲學(xué)家、文學(xué)家、教育家，道家學(xué)派的杰出代表人物，先秦天下十豪之一，被尊為“沖虛真人”。

3.等差數(shù)列的基本性質(zhì)

⑴公差為d的等差數(shù)列，各項同加一數(shù)所得數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差仍為d.

⑵公差為d的等差數(shù)列，各項同乘以常數(shù)k所得數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差為kd.

⑶若{ a }、{ b }為等差數(shù)列，則{ a ±b }與{ka +b}(k、b為非零常數(shù))也是等差數(shù)列.

⑷對任何m、n ，在等差數(shù)列{ a }中有:a = a + (n-m)d，特別地，當m = 1時，便得等差數(shù)列的通項公式，此式較等差數(shù)列的通項公式更具有一般性.

⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆為自然數(shù)，且l + k + p + … = m + n + r + … (兩邊的自然數(shù)個數(shù)相等)，那么當{a }為等差數(shù)列時，有:a + a + a + … = a + a + a + … .

⑹公差為d的等差數(shù)列，從中取出等距離的項，構(gòu)成一個新數(shù)列，此數(shù)列仍是等差數(shù)列，其公差為kd( k為取出項數(shù)之差).

⑺如果{ a }是等差數(shù)列，公差為d，那么，a ，a ，…，a 、a 也是等差數(shù)列，其公差為-d;在等差數(shù)列{ a }中，a -a = a -a = md .(其中m、k、 )

⑻在等差數(shù)列中，從第一項起，每一項(有窮數(shù)列末項除外)都是它前后兩項的等差中項.

⑼當公差d＞0時，等差數(shù)列中的數(shù)隨項數(shù)的增大而增大;當d＜0時，等差數(shù)列中的數(shù)隨項數(shù)的減少而減小;d=0時，等差數(shù)列中的數(shù)等于一個常數(shù).

⑽設(shè)a ，a ，a 為等差數(shù)列中的三項，且a 與a ，a 與a 的項距差之比 = ( ≠-1)，則a = .

5.等差數(shù)列前n項和公式S 的基本性質(zhì)

⑴數(shù)列{ a }為等差數(shù)列的充要條件是:數(shù)列{ a }的前n項和S 可以寫成S = an + bn的形式(其中a、b為常數(shù)).

⑵在等差數(shù)列{ a }中，當項數(shù)為2n (n N )時，S -S = nd， = ;當項數(shù)為(2n-1) (n )時，S -S = a ， = .

⑶若數(shù)列{ a }為等差數(shù)列，則S ，S -S ，S -S ，…仍然成等差數(shù)列，公差為 .

⑷若兩個等差數(shù)列{ a }、{ b }的前n項和分別是S 、T (n為奇數(shù))，則 = .

⑸在等差數(shù)列{ a }中，S = a，S = b (n＞m)，則S = (a-b).

⑹等差數(shù)列{a }中， 是n的一次函數(shù)，且點(n， )均在直線y = x + (a - )上.

⑺記等差數(shù)列{a }的前n項和為S .①若a ＞0，公差d＜0，則當a ≥0且a ≤0時，S 最大;②若a ＜0 ，公差d＞0，則當a ≤0且a ≥0時，S 最小.

3.等比數(shù)列的基本性質(zhì)

⑴公比為q的等比數(shù)列，從中取出等距離的項，構(gòu)成一個新數(shù)列，此數(shù)列仍是等比數(shù)列，其公比為q ( m為等距離的項數(shù)之差).

⑵對任何m、n ，在等比數(shù)列{ a }中有:a = a · q ，特別地，當m = 1時，便得等比數(shù)列的通項公式，此式較等比數(shù)列的通項公式更具有普遍性.

⑶一般地，如果t ，k，p，…，m，n，r，…皆為自然數(shù)，且t + k，p，…，m + … = m + n + r + … (兩邊的自然數(shù)個數(shù)相等)，那么當{a }為等比數(shù)列時，有:a .a .a .… = a .a .a .… ..

⑷若{ a }是公比為q的等比數(shù)列，則{| a |}、{a }、{ka }、{ }也是等比數(shù)列，其公比分別為| q |}、{q }、{q}、{ }.

⑸如果{ a }是等比數(shù)列，公比為q，那么，a ，a ，a ，…，a ，…是以q 為公比的等比數(shù)列.

⑹如果{ a }是等比數(shù)列，那么對任意在n ，都有a ·a = a ·q ＞0.

⑺兩個等比數(shù)列各對應(yīng)項的積組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，且公比等于這兩個數(shù)列的公比的積.

⑻當q＞1且a ＞0或0＜q＜1且a ＜0時，等比數(shù)列為遞增數(shù)列;當a ＞0且0＜q＜1或a ＜0且q＞1時，等比數(shù)列為遞減數(shù)列;當q = 1時，等比數(shù)列為常數(shù)列;當q＜0時，等比數(shù)列為擺動數(shù)列.

4.等比數(shù)列前n項和公式S 的基本性質(zhì)

⑴如果數(shù)列{a }是公比為q 的等比數(shù)列，那么，它的前n項和公式是S =

也就是說，公比為q的等比數(shù)列的前n項和公式是q的分段函數(shù)的一系列函數(shù)值，分段的界限是在q = 1處.因此，使用等比數(shù)列的前n項和公式，必須要弄清公比q是可能等于1還是必不等于1，如果q可能等于1，則需分q = 1和q≠1進行討論.

⑵當已知a ，q，n時，用公式S = ;當已知a ，q，a 時，用公式S = .

⑶若S 是以q為公比的等比數(shù)列，則有S = S +qS .⑵

⑷若數(shù)列{ a }為等比數(shù)列，則S ，S -S ，S -S ，…仍然成等比數(shù)列.

⑸若項數(shù)為3n的等比數(shù)列(q≠-1)前n項和與前n項積分別為S 與T ，次n項和與次n項積分別為S 與T ，最后n項和與n項積分別為S 與T ，則S ，S ，S 成等比數(shù)列，T ，T ，T 亦成等比數(shù)列.

要使每個學(xué)生在各個層面上獲的成功，想辦法讓每個學(xué)生體驗學(xué)習(xí)成功的快感，這樣對中學(xué)生的激勵作用將會更大，他們參與學(xué)習(xí)的熱情就會更高。

高數(shù)改斯念小學(xué)的時候，有一次在老師教完加法后，因為老師想要休息，所以便出了一道題目要同學(xué)們算算看，題目是：
1+2+3+ ..... +97+98+99+100 = ?
老師心里正想，這下子小朋友一定要算到下課了吧！正要借口出去時，卻被 高斯叫住了??！ 原來呀，高斯已經(jīng)算出來了，小朋友你可知道他是如何算的嗎？
高斯告訴大家他是如何算出的：把 1加 至 100 與 100 加至 1 排成兩排相加，也就是說：
1+2+3+4+ ..... +96+97+98+99+100
100+99+98+97+96+ ..... +4+3+2+1
=101+101+101+ ..... +101+101+101+101
共有一百個101相加，但算式重復(fù)了兩次，所以把10100 除并御以 2便得到答案等于 <絕畢巖5050>