高考數(shù)學(xué)勾股定理

勾和股是直角三角形的兩條直角邊。勾股定理是關(guān)于直角三角形三條邊長(zhǎng)關(guān)系的定理，應(yīng)用非常廣泛，比如，有習(xí)題 已知條件給你直角三角形兩條邊長(zhǎng)的條件，讓你求第三條邊的值，你可以列方程求解。
勾股定理還可以再推廣為一般三角形的三邊關(guān)系的定理，a^2=b^2+c^2-2bccosA.

中國(guó)最早的一部數(shù)學(xué)著作——《周髀算經(jīng)》的開(kāi)頭，記載著一段周公向商高請(qǐng)教數(shù)學(xué)知識(shí)的對(duì)話：
　　周公問(wèn)：“我聽(tīng)說(shuō)您對(duì)數(shù)學(xué)非常精通，我想請(qǐng)教一下：天沒(méi)有梯子可以上去，地也沒(méi)法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關(guān)于天地得到數(shù)據(jù)呢？”
　　
商高回答說(shuō)：“數(shù)的產(chǎn)生來(lái)源于對(duì)方和圓這些形體的認(rèn)識(shí)。其中有一條原理：當(dāng)直角三角形‘矩’得到的一條直角邊‘勾’等于3，另一條直角邊‘股’等于4的時(shí)候，那么它的斜邊‘弦’就必定是5。這個(gè)原理是大禹在治水的時(shí)候就總結(jié)出來(lái)的呵?！?br/>　　
從上面所引的這段對(duì)話中，我們可以清楚地看到，我國(guó)古代的人民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理這一重要懂得數(shù)學(xué)原理了。稍懂平面幾何的讀者都知道，所謂勾股定理，就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。

勾股數(shù)又名畢氏三元數(shù) 。勾股數(shù)就是可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)。
常見(jiàn)的特殊勾股數(shù)：3 4 5；5 12 13； 6 8 10；8，15，17；9 12 15；7 24 25；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20；12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；15 112 113；16 30 34；16 63 65；18 24 30；18 80 82；20 21 29；20 48 52；20 99 101；21 28 35；21 72 75；22 120 122；24 32 40；24 45 51；24 70 74；25 60 65；27 36 45；28 45 53；30 40 50；30 72 78；32 60 68；33 44 55；33 56 65；35 84 91；36 48 60；36 77 85；39 52 65；39 80 89；40 42 58；40 75 85 ；40 96 104；42 56 70 ； 45 60 75 ； 48 55 73 ； 48 64 80 ； 48 90 102 ； 51 68 85 ；54 72 90 ； 56 90 106 ； 57 76 95 ； 60 63 87 ； 60 80 100 ；60 91 109 ； 63 84 105 ； 65 72 97 ； 66 88 110 ； 69 92 115 ；72 96 120 ； 75 100 125 ； 80 84 116等等。
勾股數(shù)滿足勾股定理。
勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。中國(guó)古代稱直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾，另一長(zhǎng)直角邊為股，斜邊為弦，所以稱這個(gè)定理為勾股定理，也有人稱商高定理。
勾股定理現(xiàn)約有500種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。在中國(guó)，商朝時(shí)期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和。

勾股定理是一個(gè)基本的幾何定穗做理皮弊，直角三角形兩直角邊（即“勾”，“股”）邊長(zhǎng)平方和猜握衡等于斜邊（即“弦”）邊長(zhǎng)的平方。

勾股定理趣事
學(xué)過(guò)幾何的人都知道勾股定理．它是幾何中一個(gè)比較重要的定理，應(yīng)用十分廣泛．迄今為止，關(guān)于勾股定理的證明方法已有400多種．其中，美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法在數(shù)學(xué)史上被傳為佳話．
總統(tǒng)為什么會(huì)想到去證明勾股定理呢？難道他是數(shù)學(xué)家或數(shù)學(xué)愛(ài)好者？答案是否定的．事情的經(jīng)過(guò)是這樣的；
勾股的發(fā)現(xiàn)
在1876年一個(gè)周末的傍晚，在美國(guó)首都華盛頓的郊外，有一位中年人正 在散步，欣賞黃昏的美景，他就是當(dāng)時(shí)美國(guó)俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德.他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個(gè)小石凳上，有兩個(gè)小孩正在聚精會(huì)地 談?wù)撝裁?，時(shí)而大聲爭(zhēng)論，時(shí)而小聲探討．由于好奇心驅(qū)使伽菲爾德循 聲向兩個(gè)小孩走去，想搞清楚兩個(gè)小孩到底在干什么．只見(jiàn)一個(gè)小男孩正 俯著身子用樹(shù)枝在地上畫著一個(gè)直角三角形．于是伽菲爾德便問(wèn)他們?cè)诟? 什么？

只見(jiàn)那個(gè)小男孩頭也不抬地說(shuō)：“請(qǐng)問(wèn)先生，如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4，那么斜邊長(zhǎng)為多少呢？”伽菲爾德答到：“是5呀．”小男孩又問(wèn)道：“如果兩條直角邊分別為5和7，那么這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)又是多少？”伽菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又說(shuō)道：“先生，你能說(shuō)出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時(shí)語(yǔ)塞，無(wú)法解釋了，心理很不是滋味。

于是伽菲爾德不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題。他經(jīng)過(guò)反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡(jiǎn)潔的證明方法。
1876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對(duì)勾股定理的這一證法。
1881年，伽菲爾德就任美國(guó)第二十任總統(tǒng)。后來(lái)，

勾股的證明

人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、簡(jiǎn)捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)”證法。

勾股定理同時(shí)也是數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的定理之一。例如從勾股定理出發(fā)逐漸發(fā)展了開(kāi)平方、開(kāi)立方；用勾股定理求圓周率。據(jù)稱金字塔底座的四個(gè)直角就是應(yīng)用這一關(guān)系來(lái)確定的．至今在建筑工地上，還在用它來(lái)放線，進(jìn)行“歸方”，即放“成直角”的線。

正因?yàn)檫@樣，人們對(duì)這個(gè)定理的備加推崇便不足為奇了。1955年希臘發(fā)行了一張郵票，圖案是由三個(gè)棋盤排列而成。這張郵票是紀(jì)念二千五百年前希臘的一個(gè)學(xué)派和宗教團(tuán)體 —— 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，它的成立以及在文化上的貢獻(xiàn)。郵票上的圖案是對(duì)勾股定理的說(shuō)明。希臘郵票上所示的證明方法，最初記載在歐幾里得的《幾何原本》里。
尼加拉瓜在1971年發(fā)行了一套十枚的紀(jì)念郵票，主題是世界上“十個(gè)最重要的數(shù)學(xué)公式”，其中之一便是勾股定理。

2002年的世界數(shù)學(xué)家大會(huì)在中國(guó)北京舉行，這是21世紀(jì)數(shù)學(xué)家的第一次大聚會(huì)，這次大會(huì)的會(huì)標(biāo)就選定了驗(yàn)證勾股定理的“弦圖”作為中央圖案，可以說(shuō)是充分表現(xiàn)了我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就，也充分弘揚(yáng)了我國(guó)古代的數(shù)學(xué)文化，另外，我國(guó)經(jīng)過(guò)努力終于獲得了2002年數(shù)學(xué)家大會(huì)的主辦權(quán)，這也是國(guó)際數(shù)學(xué)界對(duì)我國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展的充分肯定。

今天，世界上幾乎沒(méi)有人不知道七巧板和七巧圖，它在國(guó)外被稱為“唐圖”（Tangram），意思是中國(guó)圖（不是唐代發(fā)明的圖）。七巧板的歷史也許應(yīng)該追溯到我國(guó)先秦的古籍《周髀算經(jīng)》，其中有正方形切割術(shù)，并由之證明了勾股定理。而當(dāng)時(shí)是將大正方形切割成四個(gè)同樣的三角形和一個(gè)小正方形，即弦圖，還不是七巧板?，F(xiàn)在的七巧板是經(jīng)過(guò)一段歷史演變過(guò)程的。

勾股趣事

甚至還有人提出過(guò)這樣的建議：在地球上建造一個(gè)大型裝置，以便向可能會(huì)來(lái)訪的“天外來(lái)客”表明地球上存在有智慧的生命，最適當(dāng)?shù)难b置就是一個(gè)象征勾股定理的巨大圖形，可以設(shè)在撒哈拉大沙漠、蘇聯(lián)的西伯利亞或其他廣闊的荒原上，因?yàn)橐磺杏兄R(shí)的生物都必定知道這個(gè)非凡的定理，所以用它來(lái)做標(biāo)志最容易被外來(lái)者所識(shí)別！?
有趣的是：除了三元二次方程x2 + y2 =z2（其中x、y、z都是未知數(shù)）有正整數(shù)解以外，其他的三元n次方程xn + yn =zn（n為已知正整數(shù)，且n＞2）都不可能有正整數(shù)解。這一定理叫做費(fèi)爾馬大定理（費(fèi)爾馬是17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家）。

勾股的發(fā)現(xiàn)
在1876年一個(gè)周末的傍晚,在美國(guó)首都華盛頓的郊外,有一位中年人正在散步,欣賞黃昏的美景,他就是當(dāng)時(shí)美國(guó)俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德.他走著走著,突然發(fā)現(xiàn)附近的一個(gè)小石凳上,有兩個(gè)小孩正在聚精會(huì)地談?wù)撝裁?時(shí)而大聲爭(zhēng)論,時(shí)而小聲探討．由于好奇心驅(qū)使伽菲爾德循 聲向兩個(gè)小孩走去,想搞清楚兩個(gè)小孩到底在干什么．只見(jiàn)一個(gè)小男孩正俯著身子用樹(shù)枝在地上畫著一個(gè)直角三角形．于是伽菲爾德便問(wèn)他們?cè)诟?什么?
只見(jiàn)那個(gè)小男孩頭也不抬地說(shuō)：“請(qǐng)問(wèn)先生,如果直角三角形的兩條直角邊分別為3和4,那么斜邊長(zhǎng)為多少呢?”伽菲爾德答到：“是5呀．”小男孩又問(wèn)道：“如果兩條直角邊分別為5和7,那么這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)又是多少?”伽菲爾德不加思索地回答到：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又說(shuō)道：“先生,你能說(shuō)出其中的道理嗎?”伽菲爾德一時(shí)語(yǔ)塞,無(wú)法解釋了,心理很不是滋味.
于是伽菲爾德不再散步,立即回家,潛心探討小男孩給他留下的難題.他經(jīng)過(guò)反復(fù)的思考與演算,終于弄清楚了其中的道理,并給出了簡(jiǎn)潔的證明方法.
1876年4月1日,伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對(duì)勾股定理的這一證法.
1881年,伽菲爾德就任美國(guó)第二十任總統(tǒng).后來(lái),
勾股的證明
人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、簡(jiǎn)捷、易懂、明了的證明,就把這一證法稱為“總統(tǒng)”證法.
勾股定理同時(shí)也是數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣泛的定理之一.例如從勾股定理出發(fā)逐漸發(fā)展了開(kāi)平方、開(kāi)立方；用勾股定理求圓周率.據(jù)稱金字塔底座的四個(gè)直角就是應(yīng)用這一關(guān)系來(lái)確定的．至今在建筑工地上,還在用它來(lái)放線,進(jìn)行“歸方”,即放“成直角”的線.
正因?yàn)檫@樣,人們對(duì)這個(gè)定理的備加推崇便不足為奇了.1955年希臘發(fā)行了一張郵票,圖案是由三個(gè)棋盤排列而成.這張郵票是紀(jì)念二千五百年前希臘的一個(gè)學(xué)派和宗教團(tuán)體 —— 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派,它的成立以及在文化上的貢獻(xiàn).郵票上的圖案是對(duì)勾股定理的說(shuō)明.希臘郵票上所示的證明方法,最初記載在歐幾里得的《幾何原本》里.
尼加拉瓜在1971年發(fā)行了一套十枚的紀(jì)念郵票,主題是世界上“十個(gè)最重要的數(shù)學(xué)公式”,其中之一便是勾股定理.
2002年的世界數(shù)學(xué)家大會(huì)在中國(guó)北京舉行,這是21世紀(jì)數(shù)學(xué)家的第一次大聚會(huì),這次大會(huì)的會(huì)標(biāo)就選定了驗(yàn)證勾股定理的“弦圖”作為中央圖案,可以說(shuō)是充分表現(xiàn)了我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就,也充分弘揚(yáng)了我國(guó)古代的數(shù)學(xué)文化,另外,我國(guó)經(jīng)過(guò)努力終于獲得了2002年數(shù)學(xué)家大會(huì)的主辦權(quán),這也是國(guó)際數(shù)學(xué)界對(duì)我國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展的充分肯定.
今天,世界上幾乎沒(méi)有人不知道七巧板和七巧圖,它在國(guó)外被稱為“唐圖”（Tangram）,意思是中國(guó)圖（不是唐代發(fā)明的圖）.七巧板的歷史也許應(yīng)該追溯到我國(guó)先秦的古籍《周髀算經(jīng)》,其中有正方形切割術(shù),并由之證明了勾股定理.而當(dāng)時(shí)是將大正方形切割成四個(gè)同樣的三角形和一個(gè)小正方形,即弦圖,還不是七巧板.現(xiàn)在的七巧板是經(jīng)過(guò)一段歷史演變過(guò)程的.
勾股趣事
甚至還有人提出過(guò)這樣的建議：在地球上建造一個(gè)大型裝置,以便向可能會(huì)來(lái)訪的“天外來(lái)客”表明地球上存在有智慧的生命,最適當(dāng)?shù)难b置就是一個(gè)象征勾股定理的巨大圖形,可以設(shè)在撒哈拉大沙漠、蘇聯(lián)的西伯利亞或其他廣闊的荒原上,因?yàn)橐磺杏兄R(shí)的生物都必定知道這個(gè)非凡的定理,所以用它來(lái)做標(biāo)志最容易被外來(lái)者所識(shí)別!
有趣的是：除了三元二次方程x2 + y2 =z2（其中x、y、z都是未知數(shù)）有正整數(shù)解以外,其他的三元n次方程xn + yn =zn（n為已知正整數(shù),且n＞2）都不可能有正整數(shù)解.這一定理叫做費(fèi)爾馬大定理（費(fèi)爾馬是17世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家）.

中國(guó)最早的一部數(shù)學(xué)著作——《周髀算經(jīng)》的開(kāi)頭，記載著一段周公向商高請(qǐng)教數(shù)學(xué)知識(shí)的對(duì)話：
周公問(wèn)：“我聽(tīng)說(shuō)您對(duì)數(shù)學(xué)非常精通，我想請(qǐng)教一下：天沒(méi)有梯子可以上去，地也沒(méi)法用尺子去一段一段丈量，那么怎樣才能得到關(guān)于天地得到數(shù)據(jù)呢？”
商高回答說(shuō)：“數(shù)的產(chǎn)生來(lái)源于對(duì)方和圓這些形體餓認(rèn)識(shí)。其中有一條原理：當(dāng)直角三角形‘矩’得到的一條直角邊‘勾’等于3，另一條直角邊‘股’等于4的時(shí)候，那么它的斜邊‘弦’就必定是5。這個(gè)原理是大禹在治水的時(shí)候就總結(jié)出來(lái)的呵?！?br/> 從上面所引的這段對(duì)話中，我們可以清楚地看到，我國(guó)古代的人民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理這一重要懂得數(shù)學(xué)原理了。稍懂平面幾何餓讀者都知道，所謂勾股定理，就是指在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。如圖所示，我們

圖1 直角三角形

用勾（a）和股（b）分別表示直角三角形得到兩條直角邊，用弦（c）來(lái)表示斜邊，則可得：

勾2+股2=弦2

亦即：

a2+b2=c2

勾股定理在西方被稱為畢達(dá)哥拉斯定理，相傳是古希臘數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯于公元前550年首先發(fā)現(xiàn)的。其實(shí)，我國(guó)古代得到人民對(duì)這一數(shù)學(xué)定理的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用，遠(yuǎn)比畢達(dá)哥拉斯早得多。如果說(shuō)大禹治水因年代久遠(yuǎn)而無(wú)法確切考證的話，那么周公與商高的對(duì)話則可以確定在公元前1100年左右的西周時(shí)期，比畢達(dá)哥拉斯要早了五百多年。其中所說(shuō)的勾3股4弦5，正是勾股定理的一個(gè)應(yīng)用特例（32+42=52）。所以現(xiàn)在數(shù)學(xué)界把它稱為勾股定理，應(yīng)該是非常恰當(dāng)?shù)摹?br/> 在稍后一點(diǎn)的《九章算術(shù)一書(shū)》中，勾股定理得到了更加規(guī)范的一般性表達(dá)。書(shū)中的《勾股章》說(shuō)；“把勾和股分別自乘，然后把它們的積加起來(lái)，再進(jìn)行開(kāi)方，便可以得到弦?！卑堰@段話列成算式，即為：

弦=（勾2+股2）(1/2)

亦即：

c=（a2+b2）(1/2)

中國(guó)古代的數(shù)學(xué)家們不僅很早就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理，而且很早就嘗試對(duì)勾股定理作理論的證明。最早對(duì)勾股定理進(jìn)行證明的，是三國(guó)時(shí)期吳國(guó)的數(shù)學(xué)家趙爽。趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用形數(shù)結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明。在這幅“勾股圓方圖”中，以弦為邊長(zhǎng)得到正方形ABDE是由4個(gè)相等的直角三角形再加上中間的那個(gè)小正方形組成的。每個(gè)直角三角形的面積為ab/2；中間懂得小正方形邊長(zhǎng)為b-a，則面積為（b-a）2。于是便可得如下的式子：

4×（ab/2）+（b-a）2=c2

化簡(jiǎn)后便可得：

a2+b2=c2

亦即：

c=（a2+b2）(1/2)

圖2 勾股圓方圖

? ? ? 最早發(fā)現(xiàn)＂勾三股四弦五＂這一特殊關(guān)系的是古埃及人，這一事實(shí)可以追溯到公元前25世紀(jì)，中國(guó)古代數(shù)學(xué)家也較早獨(dú)立發(fā)現(xiàn)并證明過(guò)勾股定理，而對(duì)它的應(yīng)用更有許多獨(dú)到之處。勾股定理一般情況的發(fā)現(xiàn)和證明，那要?dú)w功于古希臘的畢達(dá)哥拉斯。這個(gè)定理在中國(guó)又稱為"商高定理"，在外國(guó)稱為"畢達(dá)哥拉斯定理"。

? ? 美國(guó)哥倫比亞大學(xué)圖書(shū)館內(nèi)收藏著一塊編消肆號(hào)為“普林頓322”的古巴比倫泥板，上面就記載了很多勾股數(shù)。古埃及人在建筑宏偉的金字塔和測(cè)量尼羅河泛濫后的土地時(shí)，也應(yīng)用過(guò)勾股定理。

? ? ? 公元前十一世紀(jì)，我國(guó)周朝數(shù)學(xué)家商高就提出“勾三、股四、弦五”。勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。中國(guó)古代稱直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾，另一長(zhǎng)直角邊為股，斜邊為弦，所以稱這個(gè)定理為“勾股定理”，也有人稱“商高定理”。

? ? ? 在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和。因而西方人都習(xí)慣地稱這個(gè)定理為“畢達(dá)哥拉斯定理”。

? ? ? 勾股定理是一個(gè)基本的幾何定理，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。中國(guó)古代稱直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾，另一長(zhǎng)直角邊為兆橋簡(jiǎn)股，斜邊為弦，所以稱這個(gè)定理為勾股定理，也有人稱商高定理。

勾股定理現(xiàn)約有500種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一。在中國(guó)，商朝時(shí)期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特族褲例。在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和。

直角三角形古語(yǔ)：（勾三股四弦必五） AB+BC=AC （AB某直角邊BC某直角邊AC斜邊）