表示三角函數(shù)的符號

三角函數(shù)中有許多符號，其中sin，cos，tag，ctg，sec，csc是最重要的符號，但是在這些符號使用以前，人們都是用文字來進行敘述的，這樣使用起來非常麻煩。在實際應(yīng)用中，人們漸漸地用符號來代替它們。

正弦的符號開始記為sine，這一詞是由阿拉伯人創(chuàng)造的，但是最早把它應(yīng)用于三角函數(shù)上面的是雷基身蒙坦，他是15世紀西歐數(shù)學(xué)界的領(lǐng)導(dǎo)人物，在他1464年著的《論各種三角形》一書中，首先使用了“sine".這本書是專門講三角學(xué)脫離了天文學(xué)，成為一門獨立的數(shù)學(xué)分支。

余弦和余切開媽記為cossine和cotangent,它們是由英國人根目爾在1620年出版的《炮兵測量學(xué)》一書中首先創(chuàng)造并使用的。

正割和正切開始記為secant和tangent，它們是由16世紀初期丹麥數(shù)學(xué)家箍馬斯·芬克首先創(chuàng)造并使用的，最早見于他的著作《圓幾何學(xué)》中。

余割開始記為cosecnat,它是由銳梯卡斯在16世紀創(chuàng)造的，最早見于他1596年著的《宮廷樂曲》一書中。

后來，人們在使用中，發(fā)現(xiàn)這些符號比較長，而且寫起來容易出錯，1626年，阿貝爾物把“sine","tangent","secant",簡寫為“sin"/"tan","sec".到了1675睥，英國人奧斯特又把"cosine","cotangent","cosecant"簡寫為“cos","cot","csc",但是這些符號并沒有通行開來，直到地748年，經(jīng)過數(shù)學(xué)家歐拉的提倡，才得以普及。解放手，我國的數(shù)學(xué)教材受到了蘇聯(lián)數(shù)學(xué)的影響，把“cot"改為“ctg","tan"改為"tg"，其余四個符號沒有改動，現(xiàn)在這六個符號一直在三角函數(shù)中廣為應(yīng)用。

誘導(dǎo)公式

sin（－α）＝－sinα

cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα

cot（－α）＝－cotα



sin（π/2－α）＝cosα

cos（π/2－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα

cot（π/2－α）＝tanα



sin（π/2＋α）＝cosα

cos（π/2＋α）＝－sinα

tan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanα





sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα



sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα

cot（π＋α）＝cotα





sin（3π/2－α）＝－cosα

cos（3π/2－α）＝－sinα

tan（3π/2－α）＝cotα

cot（3π/2－α）＝tanα



sin（3π/2＋α）＝－cosα

cos（3π/2＋α）＝sinα

tan（3π/2＋α）＝－cotα

cot（3π/2＋α）＝－tanα





sin（2π－α）＝－sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotα



sin（2kπ＋α）＝sinα

cos（2kπ＋α）＝cosα

tan（2kπ＋α）＝tanα

cot（2kπ＋α）＝cotα

(其中k∈Z)

歷史表明，重要數(shù)學(xué)概念對數(shù)學(xué)發(fā)展的作用是不可估量的，函數(shù)概念對數(shù)學(xué)發(fā)展的影響，可以說是貫穿古今、曠日持久、作用非凡，回顧函數(shù)概念的歷史發(fā)展，看一看函數(shù)概念不斷被精煉、深化、豐富的歷史過程，是一件十分有益的事情，它不僅有助于我們提高對函數(shù)概念來龍去脈認識的清晰度，而且更能幫助我們領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念對數(shù)學(xué)發(fā)展，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的巨大作用．
（一）
??馬克思曾經(jīng)認為，函數(shù)概念來源于代數(shù)學(xué)中不定方程的研究．由于羅馬時代的丟番圖對不定方程已有相當研究，所以函數(shù)概念至少在那時已經(jīng)萌芽．
??自哥白尼的天文學(xué)革命以后，運動就成了文藝復(fù)興時期科學(xué)家共同感興趣的問題，人們在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)，那么下降的物體為什么不發(fā)生偏斜而還要垂直下落到地球上?行星運行的軌道是橢圓，原理是什么?還有，研究在地球表面上拋射物體的路線、射程和所能達到的高度，以及炮彈速度對于高度和射程的影響等問題，既是科學(xué)家的力圖解決的問題，也是軍事家要求解決的問題，函數(shù)概念就是從運動的研究中引申出的一個數(shù)學(xué)概念，這是函數(shù)概念的力學(xué)來源．
（二）
??早在函數(shù)概念尚未明確提出以前，數(shù)學(xué)家已經(jīng)接觸并研究了不少具體的函數(shù)，比如對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、雙曲函數(shù)等等．1673年前后笛卡兒在他的解析幾何中，已經(jīng)注意到了一個變量對于另一個變量的依賴關(guān)系，但由于當時尚未意識到需要提煉一般的函數(shù)概念，因此直到17世紀后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時候，數(shù)學(xué)家還沒有明確函數(shù)的一般意義．
??1673年，萊布尼茲首次使用函數(shù)一詞表示“冪”，后來他用該詞表示曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線長等曲線上點的有關(guān)幾何量．由此可以看出，函數(shù)一詞最初的數(shù)學(xué)含義是相當廣泛而較為模糊的，幾乎與此同時，牛頓在微積分的討論中，使用另一名詞“流量”來表示變量間的關(guān)系，直到1689年，瑞士數(shù)學(xué)家約翰·貝努里才在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，對函數(shù)概念進行了明確定義，貝努里把變量x和常量按任何方式構(gòu)成的量叫“x的函數(shù)”，表示為yx.
??當時，由于連接變數(shù)與常數(shù)的運算主要是算術(shù)運算、三角運算、指數(shù)運算和對數(shù)運算，所以后來歐拉就索性把用這些運算連接變數(shù)x和常數(shù)c而成的式子，取名為解析函數(shù)，還將它分成了“代數(shù)函數(shù)”與“超越函數(shù)”．
??18世紀中葉，由于研究弦振動問題，達朗貝爾與歐拉先后引出了“任意的函數(shù)”的說法．在解釋“任意的函數(shù)”概念的時候，達朗貝爾說是指“任意的解析式”，而歐拉則認為是“任意畫出的一條曲線”．現(xiàn)在看來這都是函數(shù)的表達方式，是函數(shù)概念的外延．
（三）
??函數(shù)概念缺乏科學(xué)的定義，引起了理論與實踐的尖銳矛盾．例如，偏微分方程在工程技術(shù)中有廣泛應(yīng)用，但由于沒有函數(shù)的科學(xué)定義，就極大地限制了偏微分方程理論的建立．1833年至1834年，高斯開始把注意力轉(zhuǎn)向物理學(xué)．他在和W·威伯爾合作發(fā)明電報的過程中，做了許多關(guān)于磁的實驗工作，提出了“力與距離的平方成反比例”這個重要的理論，使得函數(shù)作為數(shù)學(xué)的一個獨立分支而出現(xiàn)了，實際的需要促使人們對函數(shù)的定義進一步研究．
??后來，人們又給出了這樣的定義：如果一個量依賴著另一個量，當后一量變化時前一量也隨著變化，那么第一個量稱為第二個量的函數(shù)．“這個定義雖然還沒有道出函數(shù)的本質(zhì)，但卻把變化、運動注入到函數(shù)定義中去，是可喜的進步．”
??在函數(shù)概念發(fā)展史上，法國數(shù)學(xué)家富里埃的工作影響最大，富里埃深刻地揭示了函數(shù)的本質(zhì)，主張函數(shù)不必局限于解析表達式．1822年，他在名著《熱的解析理論》中說，“通常，函數(shù)表示相接的一組值或縱坐標，它們中的每一個都是任意的……，我們不假定這些縱坐標服從一個共同的規(guī)律；他們以任何方式一個挨一個．”在該書中，他用一個三角級數(shù)和的形式表達了一個由不連續(xù)的“線”所給出的函數(shù)．更確切地說就是，任意一個以2π為周期函數(shù)，在〔－π，π〕區(qū)間內(nèi)，可以由
?表示出，其中
??富里埃的研究，從根本上動搖了舊的關(guān)于函數(shù)概念的傳統(tǒng)思想，在當時的數(shù)學(xué)界引起了很大的震動．原來，在解析式和曲線之間并不存在不可逾越的鴻溝，級數(shù)把解析式和曲線溝通了，那種視函數(shù)為解析式的觀點終于成為揭示函數(shù)關(guān)系的巨大障礙．
??通過一場爭論，產(chǎn)生了羅巴切夫斯基和狄里克萊的函數(shù)定義．
??1834年，俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基提出函數(shù)的定義：“x的函數(shù)是這樣的一個數(shù)，它對于每個x都有確定的值，并且隨著x一起變化．函數(shù)值可以由解析式給出，也可以由一個條件給出，這個條件提供了一種尋求全部對應(yīng)值的方法．函數(shù)的這種依賴關(guān)系可以存在，但仍然是未知的．”這個定義建立了變量與函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，是對函數(shù)概念的一個重大發(fā)展，因為“對應(yīng)”是函數(shù)概念的一種本質(zhì)屬性與核心部分．
??1837年，德國數(shù)學(xué)家狄里克萊（Dirichlet）認為怎樣去建立x與y之間的關(guān)系無關(guān)緊要，所以他的定義是：“如果對于x的每一值，y總有完全確定的值與之對應(yīng)，則y是x的函數(shù)．”
??根據(jù)這個定義，即使像如下表述的，它仍然被說成是函數(shù)（狄里克萊函數(shù)）：

f（x）= 1???（x為有理數(shù)），
0???（x為無理數(shù)）．

??在這個函數(shù)中，如果x由0逐漸增大地取值，則f（x）忽0忽1．在無論怎樣小的區(qū)間里，f（x）無限止地忽0忽1．因此，它難用一個或幾個式子來加以表示，甚至究竟能否找出表達式也是一個問題．但是不管其能否用表達式表示，在狄里克萊的定義下，這個f（x）仍是一個函數(shù)．
??狄里克萊的函數(shù)定義，出色地避免了以往函數(shù)定義中所有的關(guān)于依賴關(guān)系的描述，以完全清晰的方式為所有數(shù)學(xué)家無條件地接受．至此，我們已可以說，函數(shù)概念、函數(shù)的本質(zhì)定義已經(jīng)形成，這就是人們常說的經(jīng)典函數(shù)定義．
（四）
??生產(chǎn)實踐和科學(xué)實驗的進一步發(fā)展，又引起函數(shù)概念新的尖銳矛盾，本世紀20年代，人類開始研究微觀物理現(xiàn)象．1930年量子力學(xué)問世了，在量子力學(xué)中需要用到一種新的函數(shù)——δ-函數(shù)，

即?ρ（x）＝ 0，x≠0，
∞,x=0．
且
??δ-函數(shù)的出現(xiàn)，引起了人們的激烈爭論．按照函數(shù)原來的定義，只允許數(shù)與數(shù)之間建立對應(yīng)關(guān)系，而沒有把“∞”作為數(shù)．另外，對于自變量只有一個點不為零的函數(shù)，其積分值卻不等于零，這也是不可想象的．然而，δ-函數(shù)確實是實際模型的抽象．例如，當汽車、火車通過橋梁時，自然對橋梁產(chǎn)生壓力．從理論上講，車輛的輪子和橋面的接觸點只有一個，設(shè)車輛對軌道、橋面的壓力為一單位，這時在接觸點x=0處的壓強是
??P（0）=壓力／接觸面=1／0=∞．
??其余點x≠0處，因無壓力，故無壓強，即?P（x）=0.另外，我們知道壓強函數(shù)的積分等于壓力，即
?函數(shù)概念就在這樣的歷史條件下能動地向前發(fā)展，產(chǎn)生了新的現(xiàn)代函數(shù)定義：若對集合M的任意元素x,總有集合N確定的元素y與之對應(yīng)，則稱在集合M上定義一個函數(shù)，記為y=f（x）.元素x稱為自變元，元素y稱為因變元．
??函數(shù)的現(xiàn)代定義與經(jīng)典定義從形式上看雖然只相差幾個字，但卻是概念上的重大發(fā)展，是數(shù)學(xué)發(fā)展道路上的重大轉(zhuǎn)折，近代的泛函分析可以作為這種轉(zhuǎn)折的標志，它研究的是一般集合上的函數(shù)關(guān)系．
??函數(shù)概念的定義經(jīng)過二百多年來的錘煉、變革，形成了函數(shù)的現(xiàn)代定義，應(yīng)該說已經(jīng)相當完善了．不過數(shù)學(xué)的發(fā)展是無止境的，函數(shù)現(xiàn)代定義的形式并不意味著函數(shù)概念發(fā)展的歷史終結(jié)，近二十年來，數(shù)學(xué)家們又把函數(shù)歸結(jié)為一種更廣泛的概念—“關(guān)系”．
??設(shè)集合X、Y，我們定義X與Y的積集X×Y為
??X×Y=｛（x,y）｜x∈X,y∈Y｝．
??積集X×Y中的一子集R稱為X與Y的一個關(guān)系，若（x,y）∈R，則稱x與y有關(guān)系R，記為xRy.若（x,y）R，則稱x與y無關(guān)系．
??現(xiàn)設(shè)f是X與Y的關(guān)系，即fX×Y，如果（x,y），（x,z）∈f,必有y=z，那么稱f為X到Y(jié)的函數(shù)．在此定義中，已在形式上回避了“對應(yīng)”的術(shù)語，全部使用集合論的語言了．
??從以上函數(shù)概念發(fā)展的全過程中，我們體會到，聯(lián)系實際、聯(lián)系大量數(shù)學(xué)素材，研究、發(fā)掘、拓廣數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵是何等重要．

樓主幫你找了一下：

歷史表明，重要數(shù)學(xué)概念對數(shù)學(xué)發(fā)展的作用是不可估量的，函數(shù)概念對數(shù)學(xué)發(fā)展的影響，可以說是貫穿古今、曠日持久、作用非凡，回顧函數(shù)概念的歷史發(fā)展，看一看函數(shù)概念不斷被精煉、深化、豐富的歷史過程，是一件十分有益的事情，它不僅有助于我們提高對函數(shù)概念來龍去脈認識的清晰度，而且更能幫助我們領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念對數(shù)學(xué)發(fā)展，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的巨大作用．

（一）

馬克思曾經(jīng)認為，函數(shù)概念來源于代數(shù)學(xué)中不定方程的研究．由于羅馬時代的丟番圖對不定方程已有相當研究，所以函數(shù)概念至少在那時已經(jīng)萌芽．

自哥白尼的天文學(xué)革命以后，運動就成了文藝復(fù)興時期科學(xué)家共同感興趣的問題，人們在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)，那么下降的物體為什么不發(fā)生偏斜而還要垂直下落到地球上?行星運行的軌道是橢圓，原理是什么?還有，研究在地球表面上拋射物體的路線、射程和所能達到的高度，以及炮彈速度對于高度和射程的影響等問題，既是科學(xué)家的力圖解決的問題，也是軍事家要求解決的問題，函數(shù)概念就是從運動的研究中引申出的一個數(shù)學(xué)概念，這是函數(shù)概念的力學(xué)來源．

（二）

早在函數(shù)概念尚未明確提出以前，數(shù)學(xué)家已經(jīng)接觸并研究了不少具體的函數(shù)，比如對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、雙曲函數(shù)等等．1673年前后笛卡兒在他的解析幾何中，已經(jīng)注意到了一個變量對于另一個變量的依賴關(guān)系，但由于當時尚未意識到需要提煉一般的函數(shù)概念，因此直到17世紀后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時候，數(shù)學(xué)家還沒有明確函數(shù)的一般意義．

1673年，萊布尼茲首次使用函數(shù)一詞表示“冪”，后來他用該詞表示曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線長等曲線上點的有關(guān)幾何量．由此可以看出，函數(shù)一詞最初的數(shù)學(xué)含義是相當廣泛而較為模糊的，幾乎與此同時，牛頓在微積分的討論中，使用另一名詞“流量”來表示變量間的關(guān)系，直到1689年，瑞士數(shù)學(xué)家約翰·貝努里才在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，對函數(shù)概念進行了明確定義，貝努里把變量x和常量按任何方式構(gòu)成的量叫“x的函數(shù)”，表示為yx.

當時，由于連接變數(shù)與常數(shù)的運算主要是算術(shù)運算、三角運算、指數(shù)運算和對數(shù)運算，所以后來歐拉就索性把用這些運算連接變數(shù)x和常數(shù)c而成的式子，取名為解析函數(shù)，還將它分成了“代數(shù)函數(shù)”與“超越函數(shù)”．

18世紀中葉，由于研究弦振動問題，達朗貝爾與歐拉先后引出了“任意的函數(shù)”的說法．在解釋“任意的函數(shù)”概念的時候，達朗貝爾說是指“任意的解析式”，而歐拉則認為是“任意畫出的一條曲線”．現(xiàn)在看來這都是函數(shù)的表達方式，是函數(shù)概念的外延．

（三）

函數(shù)概念缺乏科學(xué)的定義，引起了理論與實踐的尖銳矛盾．例如，偏微分方程在工程技術(shù)中有廣泛應(yīng)用，但由于沒有函數(shù)的科學(xué)定義，就極大地限制了偏微分方程理論的建立．1833年至1834年，高斯開始把注意力轉(zhuǎn)向物理學(xué)．他在和W·威伯爾合作發(fā)明電報的過程中，做了許多關(guān)于磁的實驗工作，提出了“力與距離的平方成反比例”這個重要的理論，使得函數(shù)作為數(shù)學(xué)的一個獨立分支而出現(xiàn)了，實際的需要促使人們對函數(shù)的定義進一步研究．

后來，人們又給出了這樣的定義：如果一個量依賴著另一個量，當后一量變化時前一量也隨著變化，那么第一個量稱為第二個量的函數(shù)．“這個定義雖然還沒有道出函數(shù)的本質(zhì)，但卻把變化、運動注入到函數(shù)定義中去，是可喜的進步．”

在函數(shù)概念發(fā)展史上，法國數(shù)學(xué)家富里埃的工作影響最大，富里埃深刻地揭示了函數(shù)的本質(zhì)，主張函數(shù)不必局限于解析表達式．1822年，他在名著《熱的解析理論》中說，“通常，函數(shù)表示相接的一組值或縱坐標，它們中的每一個都是任意的……，我們不假定這些縱坐標服從一個共同的規(guī)律；他們以任何方式一個挨一個．”在該書中，他用一個三角級數(shù)和的形式表達了一個由不連續(xù)的“線”所給出的函數(shù)．更確切地說就是，任意一個以2π為周期函數(shù)，在〔－π，π〕區(qū)間內(nèi)，可以由

表示出，其中

富里埃的研究，從根本上動搖了舊的關(guān)于函數(shù)概念的傳統(tǒng)思想，在當時的數(shù)學(xué)界引起了很大的震動．原來，在解析式和曲線之間并不存在不可逾越的鴻溝，級數(shù)把解析式和曲線溝通了，那種視函數(shù)為解析式的觀點終于成為揭示函數(shù)關(guān)系的巨大障礙．

通過一場爭論，產(chǎn)生了羅巴切夫斯基和狄里克萊的函數(shù)定義．

1834年，俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基提出函數(shù)的定義：“x的函數(shù)是這樣的一個數(shù)，它對于每個x都有確定的值，并且隨著x一起變化．函數(shù)值可以由解析式給出，也可以由一個條件給出，這個條件提供了一種尋求全部對應(yīng)值的方法．函數(shù)的這種依賴關(guān)系可以存在，但仍然是未知的．”這個定義建立了變量與函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，是對函數(shù)概念的一個重大發(fā)展，因為“對應(yīng)”是函數(shù)概念的一種本質(zhì)屬性與核心部分．

1837年，德國數(shù)學(xué)家狄里克萊（Dirichlet）認為怎樣去建立x與y之間的關(guān)系無關(guān)緊要，所以他的定義是：“如果對于x的每一值，y總有完全確定的值與之對應(yīng)，則y是x的函數(shù)．”

根據(jù)這個定義，即使像如下表述的，它仍然被說成是函數(shù)（狄里克萊函數(shù)）：



f（x）= 1（x為有理數(shù)），

0（x為無理數(shù)）．



在這個函數(shù)中，如果x由0逐漸增大地取值，則f（x）忽0忽1．在無論怎樣小的區(qū)間里，f（x）無限止地忽0忽1．因此，它難用一個或幾個式子來加以表示，甚至究竟能否找出表達式也是一個問題．但是不管其能否用表達式表示，在狄里克萊的定義下，這個f（x）仍是一個函數(shù)．

狄里克萊的函數(shù)定義，出色地避免了以往函數(shù)定義中所有的關(guān)于依賴關(guān)系的描述，以完全清晰的方式為所有數(shù)學(xué)家無條件地接受．至此，我們已可以說，函數(shù)概念、函數(shù)的本質(zhì)定義已經(jīng)形成，這就是人們常說的經(jīng)典函數(shù)定義．

（四）

生產(chǎn)實踐和科學(xué)實驗的進一步發(fā)展，又引起函數(shù)概念新的尖銳矛盾，本世紀20年代，人類開始研究微觀物理現(xiàn)象．1930年量子力學(xué)問世了，在量子力學(xué)中需要用到一種新的函數(shù)——δ-函數(shù)，



即ρ（x）＝ 0，x≠0，

∞,x=0．

且

δ-函數(shù)的出現(xiàn)，引起了人們的激烈爭論．按照函數(shù)原來的定義，只允許數(shù)與數(shù)之間建立對應(yīng)關(guān)系，而沒有把“∞”作為數(shù)．另外，對于自變量只有一個點不為零的函數(shù)，其積分值卻不等于零，這也是不可想象的．然而，δ-函數(shù)確實是實際模型的抽象．例如，當汽車、火車通過橋梁時，自然對橋梁產(chǎn)生壓力．從理論上講，車輛的輪子和橋面的接觸點只有一個，設(shè)車輛對軌道、橋面的壓力為一單位，這時在接觸點x=0處的壓強是

P（0）=壓力／接觸面=1／0=∞．

其余點x≠0處，因無壓力，故無壓強，即P（x）=0.另外，我們知道壓強函數(shù)的積分等于壓力，即

函數(shù)概念就在這樣的歷史條件下能動地向前發(fā)展，產(chǎn)生了新的現(xiàn)代函數(shù)定義：若對集合M的任意元素x,總有集合N確定的元素y與之對應(yīng)，則稱在集合M上定義一個函數(shù)，記為y=f（x）.元素x稱為自變元，元素y稱為因變元．

函數(shù)的現(xiàn)代定義與經(jīng)典定義從形式上看雖然只相差幾個字，但卻是概念上的重大發(fā)展，是數(shù)學(xué)發(fā)展道路上的重大轉(zhuǎn)折，近代的泛函分析可以作為這種轉(zhuǎn)折的標志，它研究的是一般集合上的函數(shù)關(guān)系．

函數(shù)概念的定義經(jīng)過二百多年來的錘煉、變革，形成了函數(shù)的現(xiàn)代定義，應(yīng)該說已經(jīng)相當完善了．不過數(shù)學(xué)的發(fā)展是無止境的，函數(shù)現(xiàn)代定義的形式并不意味著函數(shù)概念發(fā)展的歷史終結(jié)，近二十年來，數(shù)學(xué)家們又把函數(shù)歸結(jié)為一種更廣泛的概念—“關(guān)系”．

設(shè)集合X、Y，我們定義X與Y的積集X×Y為

X×Y=｛（x,y）｜x∈X,y∈Y｝．

積集X×Y中的一子集R稱為X與Y的一個關(guān)系，若（x,y）∈R，則稱x與y有關(guān)系R，記為xRy.若（x,y）R，則稱x與y無關(guān)系．

現(xiàn)設(shè)f是X與Y的關(guān)系，即fX×Y，如果（x,y），（x,z）∈f,必有y=z，那么稱f為X到Y(jié)的函數(shù)．在此定義中，已在形式上回避了“對應(yīng)”的術(shù)語，全部使用集合論的語言了．

從以上函數(shù)概念發(fā)展的全過程中，我們體會到，聯(lián)系實際、聯(lián)系大量數(shù)學(xué)素材，研究、發(fā)掘、拓廣數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵是何等重要．

500多年前，行車數(shù)學(xué)家維德梅發(fā)明了“＋”，很形象地指出這是在一橫上面再加一豎。后來，他想到把豎去掉就是減少，于是又發(fā)明了“－”。300年后，美國數(shù)學(xué)家歐德賴把“＋”旋轉(zhuǎn)了半圈，于是發(fā)明了“×”。18世紀，瑞士人哈納在給孩子分西瓜時，一刀把西瓜切成兩半，于是他發(fā)明了“÷”，就是用一條線把兩點分開?！埃健笔?6世紀英國學(xué)者列科爾德發(fā)明的，他覺得兩根粗細長短一樣又完全平等的線表示“等于”再合適不過。公元1631年，一個名叫哈里奧特的人把“＝”分別向兩邊張開，就發(fā)明了大于號>和小于號<。平方根號“√?”，1220年意大利數(shù)學(xué)家菲波那契使用R作為平方根號。十七世紀法國數(shù)學(xué)家笛卡爾在他的《幾何學(xué)》一書中第一次用“√?”表示根號?！啊?”是由拉丁文root（方根）的第一個字母“r”變來，上面的短線是括線，相當于括號。圓周率的來歷：很早以前,人們看出,圓的周長和直徑的比是個與圓的大小無關(guān)的常數(shù),并稱之為圓周率.1600年,英國威廉.奧托蘭特首先使用π表示圓周率,因為π是希臘之"圓周"的第一個字母,而δ是"直徑"的第一個字母,當δ=1時,圓周率為π.1706年英國的瓊斯首先使用π.1737年歐拉在其著作中使用π.后來被數(shù)學(xué)家廣泛接受,一直沒用至今.π是一個非常重要的常數(shù).一位德國數(shù)學(xué)家評論道:"歷史上一個國家所算得的圓周率的準確程度,可以做為衡量這個這家當時數(shù)學(xué)發(fā)展水平的重要標志."古今中外很多數(shù)學(xué)家都孜孜不倦地尋求過π值的計算方法.公元前200年間古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德首先從理論上給出π值的正確求法.他用圓外切與內(nèi)接多邊形的周長從大、小兩個方向上同時逐步逼近圓的周長,巧妙地求得π會元前150年左右,另一位古希臘數(shù)學(xué)家托勒密用弦表法(以1 的圓心角所對弦長乘以360再除以圓的直徑)給出了π的近似值3.1416. 公元200年間,我國數(shù)學(xué)家劉徽提供了求圓周率的科學(xué)方法----割圓術(shù),體現(xiàn)了極限觀點.劉徽與阿基米德的方法有所不同,他只取"內(nèi)接"不取"外切".利用圓面積不等式推出結(jié)果,起到了事半功倍的效果.而后,祖沖之在圓周率的計算上取得了世界領(lǐng)先地位,求得"約率" 和"密率" (又稱祖率)得到3.1415****<π<3.1415****.可惜,祖沖之的計算方法后來失傳了.人們推測他用了劉徽的割圓術(shù),但究竟用什么方法,還是一個謎.15世紀,伊斯蘭的數(shù)學(xué)家阿爾.卡西通過分別計算圓內(nèi)接和外接正3 2 邊形周長,把 π 值推到小數(shù)點后16位,打破了祖沖之保持了上千年的記錄.1579年法國韋達發(fā)現(xiàn)了關(guān)系式 ...首次擺脫了幾何學(xué)的陳舊方法,尋求到了π的解析表達式.1650年瓦里斯把π表示成元窮乘積的形式稍后,萊布尼茨發(fā)現(xiàn)接著,歐拉證明了這些公式的計算量都很大,盡管形式非常簡單.π值的計算方法的最大突破是找到了它的反正切函數(shù)表達式.1671年,蘇格蘭數(shù)學(xué)家格列哥里發(fā)現(xiàn)了1706年,英國數(shù)學(xué)麥欣首先發(fā)現(xiàn) 其計算速度遠遠超過方典算法.1777年法國數(shù)學(xué)家蒲豐提出他的著名的投針問題.依*它,可以用概率方法得到 的過似值.假定在平面上畫一組距離為 的平行線,向此平面任意投一長度為 的針,若投針次數(shù)為 ,針馬平行線中任意一條相交的次數(shù)為 ,則有 ,很多人做過實驗,1901年,有人投針3408次得出π3.1415****,如果取 ,則該式化簡為1794年勒讓德證明了π是無理數(shù),即不可能用兩個整數(shù)的比表示.1882年,德國數(shù)學(xué)家林曼德證明了π是超越數(shù),即不可能是一個整系數(shù)代數(shù)方程的根.本世紀50年代以后,圓周率π的計算開始借助于電子計算機,從而出現(xiàn)了新的突破.目前有人宣稱已經(jīng)把π計算到了億位甚至十億位以上的有效數(shù)字.人們試圖從統(tǒng)計上獲悉π的各位數(shù)字是否有某種規(guī)律.競爭還在繼續(xù),正如有人所說,數(shù)學(xué)家探索中的進程也像π這個數(shù)一樣:永不循環(huán),無止無休......

歷史表明，重要數(shù)學(xué)概念對數(shù)學(xué)發(fā)展的作用是不可估量的，函數(shù)概念對數(shù)學(xué)發(fā)展的影響，可以說是貫穿古今、曠日持久、作用非凡，回顧函數(shù)概念的歷史發(fā)展，看一看函數(shù)概念不斷被精煉、深化、豐富的歷史過程，是一件十分有益的事情，它不僅有助于我們提高對函數(shù)概念來龍去脈認識的清晰度，而且更能幫助我們領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念對數(shù)學(xué)發(fā)展，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的巨大作用．

（一）

馬克思曾經(jīng)認為，函數(shù)概念來源于代數(shù)學(xué)中不定方程的研究．由于羅馬時代的丟番圖對不定方程已有相當研究，所以函數(shù)概念至少在那時已經(jīng)萌芽．

自哥白尼的天文學(xué)革命以后，運動就成了文藝復(fù)興時期科學(xué)家共同感興趣的問題，人們在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)，那么下降的物體為什么不發(fā)生偏斜而還要垂直下落到地球上?行星運行的軌道是橢圓，原理是什么?還有，研究在地球表面上拋射物體的路線、射程和所能達到的高度，以及炮彈速度對于高度和射程的影響等問題，既是科學(xué)家的力圖解決的問題，也是軍事家要求解決的問題，函數(shù)概念就是從運動的研究中引申出的一個數(shù)學(xué)概念，這是函數(shù)概念的力學(xué)來源．

（二）

早在函數(shù)概念尚未明確提出以前，數(shù)學(xué)家已經(jīng)接觸并研究了不少具體的函數(shù)，比如對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、雙曲函數(shù)等等．1673年前后笛卡兒在他的解析幾何中，已經(jīng)注意到了一個變量對于另一個變量的依賴關(guān)系，但由于當時尚未意識到需要提煉一般的函數(shù)概念，因此直到17世紀后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時候，數(shù)學(xué)家還沒有明確函數(shù)的一般意義．

1673年，萊布尼茲首次使用函數(shù)一詞表示“冪”，后來他用該詞表示曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線長等曲線上點的有關(guān)幾何量．由此可以看出，函數(shù)一詞最初的數(shù)學(xué)含義是相當廣泛而較為模糊的，幾乎與此同時，牛頓在微積分的討論中，使用另一名詞“流量”來表示變量間的關(guān)系，直到1689年，瑞士數(shù)學(xué)家約翰·貝努里才在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，對函數(shù)概念進行了明確定義，貝努里把變量x和常量按任何方式構(gòu)成的量叫“x的函數(shù)”，表示為yx.

當時，由于連接變數(shù)與常數(shù)的運算主要是算術(shù)運算、三角運算、指數(shù)運算和對數(shù)運算，所以后來歐拉就索性把用這些運算連接變數(shù)x和常數(shù)c而成的式子，取名為解析函數(shù)，還將它分成了“代數(shù)函數(shù)”與“超越函數(shù)”．

18世紀中葉，由于研究弦振動問題，達朗貝爾與歐拉先后引出了“任意的函數(shù)”的說法．在解釋“任意的函數(shù)”概念的時候，達朗貝爾說是指“任意的解析式”，而歐拉則認為是“任意畫出的一條曲線”．現(xiàn)在看來這都是函數(shù)的表達方式，是函數(shù)概念的外延．

（三）

函數(shù)概念缺乏科學(xué)的定義，引起了理論與實踐的尖銳矛盾．例如，偏微分方程在工程技術(shù)中有廣泛應(yīng)用，但由于沒有函數(shù)的科學(xué)定義，就極大地限制了偏微分方程理論的建立．1833年至1834年，高斯開始把注意力轉(zhuǎn)向物理學(xué)．他在和W·威伯爾合作發(fā)明電報的過程中，做了許多關(guān)于磁的實驗工作，提出了“力與距離的平方成反比例”這個重要的理論，使得函數(shù)作為數(shù)學(xué)的一個獨立分支而出現(xiàn)了，實際的需要促使人們對函數(shù)的定義進一步研究．

后來，人們又給出了這樣的定義：如果一個量依賴著另一個量，當后一量變化時前一量也隨著變化，那么第一個量稱為第二個量的函數(shù)．“這個定義雖然還沒有道出函數(shù)的本質(zhì)，但卻把變化、運動注入到函數(shù)定義中去，是可喜的進步．”

在函數(shù)概念發(fā)展史上，法國數(shù)學(xué)家富里埃的工作影響最大，富里埃深刻地揭示了函數(shù)的本質(zhì)，主張函數(shù)不必局限于解析表達式．1822年，他在名著《熱的解析理論》中說，“通常，函數(shù)表示相接的一組值或縱坐標，它們中的每一個都是任意的……，我們不假定這些縱坐標服從一個共同的規(guī)律；他們以任何方式一個挨一個．”在該書中，他用一個三角級數(shù)和的形式表達了一個由不連續(xù)的“線”所給出的函數(shù)．更確切地說就是，任意一個以2π為周期函數(shù)，在〔－π，π〕區(qū)間內(nèi)，可以由

表示出，其中

富里埃的研究，從根本上動搖了舊的關(guān)于函數(shù)概念的傳統(tǒng)思想，在當時的數(shù)學(xué)界引起了很大的震動．原來，在解析式和曲線之間并不存在不可逾越的鴻溝，級數(shù)把解析式和曲線溝通了，那種視函數(shù)為解析式的觀點終于成為揭示函數(shù)關(guān)系的巨大障礙．

通過一場爭論，產(chǎn)生了羅巴切夫斯基和狄里克萊的函數(shù)定義．

1834年，俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基提出函數(shù)的定義：“x的函數(shù)是這樣的一個數(shù)，它對于每個x都有確定的值，并且隨著x一起變化．函數(shù)值可以由解析式給出，也可以由一個條件給出，這個條件提供了一種尋求全部對應(yīng)值的方法．函數(shù)的這種依賴關(guān)系可以存在，但仍然是未知的．”這個定義建立了變量與函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，是對函數(shù)概念的一個重大發(fā)展，因為“對應(yīng)”是函數(shù)概念的一種本質(zhì)屬性與核心部分．

1837年，德國數(shù)學(xué)家狄里克萊（Dirichlet）認為怎樣去建立x與y之間的關(guān)系無關(guān)緊要，所以他的定義是：“如果對于x的每一值，y總有完全確定的值與之對應(yīng)，則y是x的函數(shù)．”

根據(jù)這個定義，即使像如下表述的，它仍然被說成是函數(shù)（狄里克萊函數(shù)）：



f（x）= 1（x為有理數(shù)），

0（x為無理數(shù)）．



在這個函數(shù)中，如果x由0逐漸增大地取值，則f（x）忽0忽1．在無論怎樣小的區(qū)間里，f（x）無限止地忽0忽1．因此，它難用一個或幾個式子來加以表示，甚至究竟能否找出表達式也是一個問題．但是不管其能否用表達式表示，在狄里克萊的定義下，這個f（x）仍是一個函數(shù)．

狄里克萊的函數(shù)定義，出色地避免了以往函數(shù)定義中所有的關(guān)于依賴關(guān)系的描述，以完全清晰的方式為所有數(shù)學(xué)家無條件地接受．至此，我們已可以說，函數(shù)概念、函數(shù)的本質(zhì)定義已經(jīng)形成，這就是人們常說的經(jīng)典函數(shù)定義．

（四）

生產(chǎn)實踐和科學(xué)實驗的進一步發(fā)展，又引起函數(shù)概念新的尖銳矛盾，本世紀20年代，人類開始研究微觀物理現(xiàn)象．1930年量子力學(xué)問世了，在量子力學(xué)中需要用到一種新的函數(shù)——δ-函數(shù)，



即ρ（x）＝ 0，x≠0，

∞,x=0．

且

δ-函數(shù)的出現(xiàn)，引起了人們的激烈爭論．按照函數(shù)原來的定義，只允許數(shù)與數(shù)之間建立對應(yīng)關(guān)系，而沒有把“∞”作為數(shù)．另外，對于自變量只有一個點不為零的函數(shù)，其積分值卻不等于零，這也是不可想象的．然而，δ-函數(shù)確實是實際模型的抽象．例如，當汽車、火車通過橋梁時，自然對橋梁產(chǎn)生壓力．從理論上講，車輛的輪子和橋面的接觸點只有一個，設(shè)車輛對軌道、橋面的壓力為一單位，這時在接觸點x=0處的壓強是

P（0）=壓力／接觸面=1／0=∞．

其余點x≠0處，因無壓力，故無壓強，即P（x）=0.另外，我們知道壓強函數(shù)的積分等于壓力，即

函數(shù)概念就在這樣的歷史條件下能動地向前發(fā)展，產(chǎn)生了新的現(xiàn)代函數(shù)定義：若對集合M的任意元素x,總有集合N確定的元素y與之對應(yīng)，則稱在集合M上定義一個函數(shù)，記為y=f（x）.元素x稱為自變元，元素y稱為因變元．

函數(shù)的現(xiàn)代定義與經(jīng)典定義從形式上看雖然只相差幾個字，但卻是概念上的重大發(fā)展，是數(shù)學(xué)發(fā)展道路上的重大轉(zhuǎn)折，近代的泛函分析可以作為這種轉(zhuǎn)折的標志，它研究的是一般集合上的函數(shù)關(guān)系．

函數(shù)概念的定義經(jīng)過二百多年來的錘煉、變革，形成了函數(shù)的現(xiàn)代定義，應(yīng)該說已經(jīng)相當完善了．不過數(shù)學(xué)的發(fā)展是無止境的，函數(shù)現(xiàn)代定義的形式并不意味著函數(shù)概念發(fā)展的歷史終結(jié)，近二十年來，數(shù)學(xué)家們又把函數(shù)歸結(jié)為一種更廣泛的概念—“關(guān)系”．

設(shè)集合X、Y，我們定義X與Y的積集X×Y為

X×Y=｛（x,y）｜x∈X,y∈Y｝．

積集X×Y中的一子集R稱為X與Y的一個關(guān)系，若（x,y）∈R，則稱x與y有關(guān)系R，記為xRy.若（x,y）R，則稱x與y無關(guān)系．

現(xiàn)設(shè)f是X與Y的關(guān)系，即fX×Y，如果（x,y），（x,z）∈f,必有y=z，那么稱f為X到Y(jié)的函數(shù)．在此定義中，已在形式上回避了“對應(yīng)”的術(shù)語，全部使用集合論的語言了．

從以上函數(shù)概念發(fā)展的全過程中，我們體會到，聯(lián)系實際、聯(lián)系大量數(shù)學(xué)素材，研究、發(fā)掘、拓廣數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵是何等重要

笛卡兒



笛卡兒（Descartes,René）(1596-1660),法國數(shù)學(xué)家、科學(xué)家和哲學(xué)家。他是西方近代資產(chǎn)階級哲學(xué)奠基人之一。他的哲學(xué)與數(shù)學(xué)思想對歷史的影響是深遠的。人們在他的墓碑上刻下了這樣一句話：“笛卡兒，歐洲文藝復(fù)興以來，第一個為人類爭取并保證理性權(quán)利的人?！?

笛卡兒出生于法國，父親是法國一個地方法院的評議員，相當于現(xiàn)在的律師和法官。一歲時母親去世，給笛卡兒留下了一筆遺產(chǎn)，為日后他從事自己喜愛的工作提供了可靠的經(jīng)濟保障。8歲時他進入一所耶穌會學(xué)校，在校學(xué)習(xí)8年，接受了傳統(tǒng)的文化教育，讀了古典文學(xué)、歷史、神學(xué)、哲學(xué)、法學(xué)、醫(yī)學(xué)、數(shù)學(xué)及其他自然科學(xué)。但他對所學(xué)的東西頗感失望。因為在他看來教科書中那些微妙的論證，其實不過是模棱兩可甚至前后矛盾的理論，只能使他頓生懷疑而無從得到確鑿的知識，惟一給他安慰的是數(shù)學(xué)。在結(jié)束學(xué)業(yè)時他暗下決心：不再死鉆書本學(xué)問，而要向“世界這本大書”討教，于是他決定避開戰(zhàn)爭，遠離社交活動頻繁的都市，尋找一處適于研究的環(huán)境。1628年，他從巴黎移居荷蘭，開始了長達20年的潛心研究和寫作生涯，先后發(fā)表了許多在數(shù)學(xué)和哲學(xué)上有重大影響的論著。在荷蘭長達20年的時間里，他集中精力做了大量的研究工作，在1634年寫了《論世界》，書中總結(jié)了他在哲學(xué)、數(shù)學(xué)和許多自然科學(xué)問題上的看法。1641年出版了《行而上學(xué)的沉思》，1644年又出版了《哲學(xué)原理》等。他的著作在生前就遭到教會指責(zé)，死后又被梵蒂岡教皇列為禁書，但這并沒有阻止他的思想的傳播。

笛卡兒不僅在哲學(xué)領(lǐng)域里開辟了一條新的道路，同時笛卡兒又是一勇于探索的科學(xué)家，在物理學(xué)、生理學(xué)等領(lǐng)域都有值得稱道的創(chuàng)見，特別是在數(shù)學(xué)上他創(chuàng)立了解析幾何，從而打開了近代數(shù)學(xué)的大門，在科學(xué)史上具有劃時代的意義。

笛卡兒的主要數(shù)學(xué)成果集中在他的“幾何學(xué)”中。當時，代數(shù)還是一門比較新的科學(xué)，幾何學(xué)的思維還在數(shù)學(xué)家的頭腦中占有統(tǒng)治地位。在笛卡兒之前，幾何與代數(shù)是數(shù)學(xué)中兩個不同的研究領(lǐng)域。笛卡兒站在方法論的自然哲學(xué)的高度，認為希臘人的幾何學(xué)過于依賴于圖形，束縛了人的想象力。對于當時流行的代數(shù)學(xué)，他覺得它完全從屬于法則和公式，不能成為一門改進智力的科學(xué)。因此他提出必須把幾何與代數(shù)的優(yōu)點結(jié)合起來，建立一種“真正的數(shù)學(xué)”。笛卡兒的思想核心是：把幾何學(xué)的問題歸結(jié)成代數(shù)形式的問題，用代數(shù)學(xué)的方法進行計算、證明，從而達到最終解決幾何問題的目的。依照這種思想他創(chuàng)立了我們現(xiàn)在稱之為的“解析幾何學(xué)”。1637年，笛卡兒發(fā)表了《幾何學(xué)》，創(chuàng)立了直角坐標系。他用平面上的一點到兩條固定直線的距離來確定點的距離，用坐標來描述空間上的點。他進而又創(chuàng)立了解析幾何學(xué)，表明了幾何問題不僅可以歸結(jié)成為代數(shù)形式，而且可以通過代數(shù)變換來實現(xiàn)發(fā)現(xiàn)幾何性質(zhì)，證明幾何性質(zhì)。解析幾何的出現(xiàn)，改變了自古希臘以來代數(shù)和幾何分離的趨向，把相互對立著的“數(shù)”與“形”統(tǒng)一了起來，使幾何曲線與代數(shù)方程相結(jié)合。笛卡兒的這一天才創(chuàng)見，更為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ)，從而開拓了變量數(shù)學(xué)的廣闊領(lǐng)域。最為可貴的是，笛卡兒用運動的觀點，把曲線看成點的運動的軌跡，不僅建立了點與實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，而且把形（包括點、線、面）和“數(shù)”兩個對立的對象統(tǒng)一起來，建立了曲線和方程的對應(yīng)關(guān)系。這種對應(yīng)關(guān)系的建立，不僅標志著函數(shù)概念的萌芽，而且標明變數(shù)進入了數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)在思想方法上發(fā)生了偉大的轉(zhuǎn)折--由常量數(shù)學(xué)進入變量數(shù)學(xué)的時期。正如恩格斯所說：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點是笛卡兒的變數(shù)。有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辨證法進入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要了。笛卡兒的這些成就，為后來牛頓、萊布尼茲發(fā)現(xiàn)微積分，為一大批數(shù)學(xué)家的新發(fā)現(xiàn)開辟了道路。

笛卡兒在其他科學(xué)領(lǐng)域的成就同樣累累碩果。笛卡兒靠著天才的直覺和嚴密的數(shù)學(xué)推理，在物理學(xué)方面做出了有益的貢獻。從1619年讀了開普勒的光學(xué)著作后，笛卡兒就一直關(guān)注著透鏡理論；并從理論和實踐兩方面參與了對光的本質(zhì)、反射與折射率以及磨制透鏡的研究。他把光的理論視為整個知識體系中最重要的部分。笛卡兒堅信光是“即時”傳播的，他在著作《論人》和《哲學(xué)原理》中，完整的闡發(fā)了關(guān)于光的本性的概念。他還從理論上推導(dǎo)了折射定律，與荷蘭的斯涅耳共同分享發(fā)現(xiàn)光的折射定律的榮譽。他還對人眼進行光學(xué)分析，解釋了視力失常的原因是晶狀體變形，設(shè)計了矯正視力的透鏡。在力學(xué)方面，他提出了宇宙間運動量總和是常數(shù)的觀點，創(chuàng)造了運動量守恒定律，為能量守恒定律奠定了基礎(chǔ)。他還指出，一個物體若不受外力作用，將沿直線勻速運動。

笛卡兒在其他的科學(xué)領(lǐng)域還有不少值得稱道的創(chuàng)見。他發(fā)展了宇宙演化論，創(chuàng)立了漩渦說。他認為太陽的周圍有巨大的漩渦，帶動著行星不斷運轉(zhuǎn)。物質(zhì)的質(zhì)點處于統(tǒng)一的漩渦之中，在運動中分化出土、空氣和火三種元素，土形成行星，火則形成太陽和恒星。笛卡兒的這一太陽起源的旋渦說，比康德的星云說早一個世紀，是17世紀中最有權(quán)威的宇宙論。他還提出了刺激反應(yīng)說，為生理學(xué)做出了一定的貢獻。

笛卡兒近代科學(xué)的始祖。笛卡兒是歐洲近代哲學(xué)的奠基人之一，黑格爾稱他為“現(xiàn)代哲學(xué)之父”。他自成體系，熔唯物主義與唯心主義于一爐，在哲學(xué)史上產(chǎn)生了深遠的影響。同時，他又是一位勇于探索的科學(xué)家，他所建立的解析幾何在數(shù)學(xué)史上具有劃時代的意義。笛卡兒堪稱17世紀的歐洲哲學(xué)界和科學(xué)界最有影響的巨匠之一，被譽為“近代科學(xué)的始祖”。

歐拉的第一個偉大成就是把解析方法引入力學(xué)中。他用極小化原理來表述自然規(guī)律，再與積分的極小化原理相結(jié)合，得到了現(xiàn)在以他的名字命名的一類微分方程的解法。這些極值原理形成了一門學(xué)科：變分法。

歐拉

在分析方面，歐拉出版了三部不朽的著作。其中的齊次函數(shù)理論及收斂性理論非常著名。而關(guān)于前N個自然數(shù)的倒數(shù)和的趨勢及由此產(chǎn)生的歐拉常數(shù)現(xiàn)在仍然被廣泛使用。

在流體力學(xué)方面，他第一個充分表述了壓力在液體流動中的作用。他建立了流體力學(xué)的方程以及許多概念；即使現(xiàn)在稱為Beroulli定理的流體力學(xué)定律也是他首先嚴格地推導(dǎo)出來的。

幾何是歐拉的最愛。從各個孤立問題的解決到發(fā)展出完整幾何分支的新方法，他都作出了卓越貢獻。一個最著名的公式是揭示多面體的面數(shù)，頂點數(shù)與邊數(shù)的關(guān)系：面數(shù) + 頂點數(shù) - 邊數(shù) = 2。而歐拉對哥尼斯堡七橋問題的解決，導(dǎo)致了圖論的誕生。

歐拉的大部分時間化在數(shù)論研究上。在丟番圖分析方能，他是繼丟番圖和費爾馬之后的最偉大的數(shù)學(xué)家，盡管他的方法不系統(tǒng)。在代數(shù)方面，他用行列式表示線性方程組的消元過程；也是他化四次方程為3次方程。

他雙目失明后，仍然以口授方式進行大量的數(shù)學(xué)寫作。他花了許多時間去改進星球運動的理論。他第一個假設(shè)Kepler橢圓的中心是太陽系的質(zhì)量中心，而不是太陽。在攝動理論中，他創(chuàng)立了許多經(jīng)典的原理。

歐拉的研究領(lǐng)域還包括光學(xué)、聲學(xué)、熱學(xué)等。

17世紀末,德國數(shù)學(xué)家來布尼茨在1692年首先采用"函數(shù)"這個名詞,但它僅指"冪""坐標""切比線"等概念.到1718年,函數(shù)被看成是以自主變量的值求出因變量的值的解析式子.1748年,瑞士數(shù)學(xué)家歐拉稱函數(shù)是在幾何上"能用曲線表示的"代數(shù)式,"是一條隨意可以描畫的曲線".以后,人們逐漸深入到用"變化""運動"的觀點來認識函數(shù).
(詳細請看浙江初中數(shù)學(xué)第五冊(1999年5月)閱讀材料)

?函數(shù)概念缺乏科學(xué)的定義，引起了理論與實踐的尖銳矛盾．例如，偏微分方程在工程技術(shù)中有廣泛應(yīng)用，但由于沒有函數(shù)的科學(xué)定義，就極大地限制了偏微分方程理論的建立．1833年至1834年，高斯開始把注意力轉(zhuǎn)向物理學(xué)．他在和W·威伯爾合作發(fā)明電報的過程中，做了許多關(guān)于磁的實驗工作，提出了“力與距離的平方成反比例”這個重要的理論，使得函數(shù)作為數(shù)學(xué)的一個獨立分支而出現(xiàn)了，實際的需要促使人們對函數(shù)的定義進一步研究．
??后來，人們又給出了這樣的定義：如果一個量依賴著另一個量，當后一量變化時前一量也隨著變化，那么第一個量稱為第二個量的函數(shù)．“這個定義雖然還沒有道出函數(shù)的本質(zhì)，但卻把變化、運動注入到函數(shù)定義中去，是可喜的進步．”
??在函數(shù)概念發(fā)展史上，法國數(shù)學(xué)家富里埃的工作影響最大，富里埃深刻地揭示了函數(shù)的本質(zhì)，主張函數(shù)不必局限于解析表達式．1822年，他在名著《熱的解析理論》中說，“通常，函數(shù)表示相接的一啟羨組值或縱坐標，它們中的每一個都是任意的……，我們不假定這些縱坐標服從一個共同的規(guī)律；他們以任何方式一個挨一個．”在該書中，他用一個三角級數(shù)和的形式表達了一禪差個由不連續(xù)的“線”所給出的函數(shù)．更確切地說就是，任意一個以2π為周期函數(shù)，在〔－π，π〕區(qū)間內(nèi)，可以由
?表示出，其中
??富里埃的研究，從根本上動搖了舊的關(guān)于函數(shù)概念的傳統(tǒng)思想，在當時的數(shù)學(xué)界引起了很大的震動．原來，在解析式和曲線之間并不存在不可逾越的鴻溝，級數(shù)把解析式和曲線溝通了，那種視函數(shù)為解析式的觀點終于成為揭示函數(shù)關(guān)系的巨大障礙．
??通過一場爭論，產(chǎn)生了羅巴切夫斯基和狄里克萊的函數(shù)定義．
??1834年，俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基提出函數(shù)的定義：“x的函數(shù)是這樣的一個數(shù)，它對于每個x都有確定的值，并且隨著x一起變化．函數(shù)值可以由解析式給出，也可以由一個條件給出，這個條件提供了一種尋求全部對應(yīng)值的方法．函數(shù)的這種依賴關(guān)系可以存在，但仍然是未知的．”這個定義建立了變量與函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，是對函數(shù)概念的一個重大發(fā)展，因為“對應(yīng)”是函數(shù)概念的一種本質(zhì)屬性與核心部分．
??1837年，德國數(shù)學(xué)家狄里克萊（Dirichlet）認為怎樣去建立x與悄襲拍y之間的關(guān)系無關(guān)緊要，所以他的定義是：“如果對于x的每一值，y總有完全確定的值與之對應(yīng)，則y是x的函數(shù)．”
??根據(jù)這個定義，即使像如下表述的，它仍然被說成是函數(shù)（狄里克萊函數(shù)）：

f（x）= 1???（x為有理數(shù)），
0???（x為無理數(shù)）．

??在這個函數(shù)中，如果x由0逐漸增大地取值，則f（x）忽0忽1．在無論怎樣小的區(qū)間里，f（x）無限止地忽0忽1．因此，它難用一個或幾個式子來加以表示，甚至究竟能否找出表達式也是一個問題．但是不管其能否用表達式表示，在狄里克萊的定義下，這個f（x）仍是一個函數(shù)．
??狄里克萊的函數(shù)定義，出色地避免了以往函數(shù)定義中所有的關(guān)于依賴關(guān)系的描述，以完全清晰的方式為所有數(shù)學(xué)家無條件地接受．至此，我們已可以說，函數(shù)概念、函數(shù)的本質(zhì)定義已經(jīng)形成，這就是人們常說的經(jīng)典函數(shù)定義．

歷史表明，重要數(shù)學(xué)概念對數(shù)學(xué)發(fā)展的作用是不可估量的，函數(shù)概念對數(shù)學(xué)發(fā)展的影響，可以說是貫穿古今、曠日持久、作用非凡，回顧函數(shù)概念的歷史發(fā)展，看一看函數(shù)概念不斷被精煉、深化、豐富的歷史過程，是一件十分有益的事情，它不僅有助于我們提高對函數(shù)概念來龍去脈認識的清晰度，而且更能幫助我們領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念對數(shù)學(xué)發(fā)展，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的巨大作用．
（一）
??馬克思曾經(jīng)認為，函數(shù)概念來源于代數(shù)學(xué)中不定方程的研究．由于羅馬時代的丟番圖對不定方程已有相當研究，所以函數(shù)概念至少在那時已經(jīng)萌芽．
??自哥白尼的天文學(xué)革命以后，運動就成了文藝復(fù)興時期科學(xué)家共同感興趣的問題，人們在思索：既然地球不是宇宙中心，它本身又有自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)，那么下降的物體為什么不發(fā)生偏斜而還要垂直下落到地球上?行星運行的軌道是橢圓，原理是什么?還有，研究在地球表面上拋射物體的路線、射程和所能達到的高度，以及炮彈速度對于高度和射程的影響等問題，既是科學(xué)家的力圖解決的問題，也是軍事家要求解決的問題，函數(shù)概念就是從運動的研究中引申出的一個數(shù)學(xué)概念，這是函數(shù)概念的力學(xué)來源．
（二）
??早在函數(shù)概念尚未明確提出以前，數(shù)學(xué)家已經(jīng)接觸并研究了不少具體的函數(shù)，比如對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、雙曲函數(shù)等等．1673年前后笛卡兒在他的解析幾何中，已經(jīng)注意到了一個變量對于另一個變量的依賴關(guān)系，但由于當時尚未意識到需要提煉一般的函數(shù)概念，因此直到17世紀后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時候，數(shù)學(xué)家還沒有明確函數(shù)的一般意義．
??1673年，萊布尼茲首次使用函數(shù)一詞表示“冪”，后來他用該詞表示曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線長等曲線上點的有關(guān)幾何量．由此可以看出，函數(shù)一詞最初的數(shù)學(xué)含義是相當廣泛而較為模糊的，幾乎與此同時，牛頓在微積分的討論中，使用另一名詞“流量”來表示變量間的關(guān)系，直到1689年，瑞士數(shù)學(xué)家約翰·貝努里才在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，對函數(shù)概念進行了明確定義，貝努里把變量x和常量按任何方式構(gòu)成的量叫“x的函數(shù)”，表示為yx.
??當時，由于連接變數(shù)與常數(shù)的運算主要是算術(shù)運算、三角運算、指數(shù)運算和對數(shù)運算，所以后來歐拉就索性把用這些運算連接變數(shù)x和常數(shù)c而成的式子，取名為解析函數(shù)，還將它分成了“代數(shù)函數(shù)”與“超越函數(shù)”．
??18世紀中葉，由于研究弦振動問題，達朗貝爾與歐拉先后引出了“任意的函數(shù)”的說法．在解釋“任意的函數(shù)”概念的時候，達朗貝爾說是指“任意的解析式”，而歐拉則認為是“任意畫出的一條曲線”．現(xiàn)在看來這都是函數(shù)的表達方式，是函數(shù)概念的外延．
（三）
??函數(shù)概念缺乏科學(xué)的定義，引起了理論與實踐的尖銳矛盾．例如，偏微分方程在工程技術(shù)中有廣泛應(yīng)用，但由于沒有函數(shù)的科學(xué)定義，就極大地限制了偏微分方程理論的建立．1833年至1834年，高斯開始把注意力轉(zhuǎn)向物理學(xué)．他在和W·威伯爾合作發(fā)明電報的過程中，做了許多關(guān)于磁的實驗工作，提出了“力與距離的平方成反比例”這個重要的理論，使得函數(shù)作為數(shù)學(xué)的一個獨立分支而出現(xiàn)了，實際的需要促使人們對函數(shù)的定義進一步研究．
??后來，人們又給出了這樣的定義：如果一個量依賴著另一個量，當后一量變化時前一量也隨著變化，那么第一個量稱為第二個量的函數(shù)．“這個定義雖然還沒有道出函數(shù)的本質(zhì)，但卻把變化、運動注入到函數(shù)定義中去，是可喜的進步．”
??在函數(shù)概念發(fā)展史上，法國數(shù)學(xué)家富里埃的工作影響最大，富里埃深刻地揭示了函數(shù)的本質(zhì)，主張函數(shù)不必局限于解析表達式．1822年，他在名著《熱的解析理論》中說，“通常，函數(shù)表示相接的一組值或縱坐標，它們中的每一個都是任意的……，我們不假定這些縱坐標服從一個共同的規(guī)律；他們以任何方式一個挨一個．”在該書中，他用一個三角級數(shù)和的形式表達了一個由不連續(xù)的“線”所給出的函數(shù)．更確切地說就是，任意一個以2π為周期函數(shù)，在〔－π，π〕區(qū)間內(nèi)，可以由
?表示出，其中
??富里埃的研究，從根本上動搖了舊的關(guān)于函數(shù)概念的傳統(tǒng)思想，在當時的數(shù)學(xué)界引起了很大的震動．原來，在解析式和曲線之間并不存在不可逾越的鴻溝，級數(shù)把解析式和曲線溝通了，那種視函數(shù)為解析式的觀點終于成為揭示函數(shù)關(guān)系的巨大障礙．
??通過一場爭論，產(chǎn)生了羅巴切夫斯基和狄里克萊的函數(shù)定義．
??1834年，俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基提出函數(shù)的定義：“x的函數(shù)是這樣的一個數(shù)，它對于每個x都有確定的值，并且隨著x一起變化．函數(shù)值可以由解析式給出，也可以由一個條件給出，這個條件提供了一種尋求全部對應(yīng)值的方法．函數(shù)的這種依賴關(guān)系可以存在，但仍然是未知的．”這個定義建立了變量與函數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系，是對函數(shù)概念的一個重大發(fā)展，因為“對應(yīng)”是函數(shù)概念的一種本質(zhì)屬性與核心部分．
??1837年，德國數(shù)學(xué)家狄里克萊（Dirichlet）認為怎樣去建立x與y之間的關(guān)系無關(guān)緊要，所以他的定義是：“如果對于x的每一值，y總有完全確定的值與之對應(yīng)，則y是x的函數(shù)．”
??根據(jù)這個定義，即使像如下表述的，它仍然被說成是函數(shù)（狄里克萊函數(shù)）：

f（x）= 1???（x為有理數(shù)），
0???（x為無理數(shù)）．

??在這個函數(shù)中，如果x由0逐漸增大地取值，則f（x）忽0忽1．在無論怎樣小的區(qū)間里，f（x）無限止地忽0忽1．因此，它難用一個或幾個式子來加以表示，甚至究竟能否找出表達式也是一個問題．但是不管其能否用表達式表示，在狄里克萊的定義下，這個f（x）仍是一個函數(shù)．
??狄里克萊的函數(shù)定義，出色地避免了以往函數(shù)定義中所有的關(guān)于依賴關(guān)系的描述，以完全清晰的方式為所有數(shù)學(xué)家無條件地接受．至此，我們已可以說，函數(shù)概念、函數(shù)的本質(zhì)定義已經(jīng)形成，這就是人們常說的經(jīng)典函數(shù)定義．
（四）
??生產(chǎn)實踐和科學(xué)實驗的進一步發(fā)展，又引起函數(shù)概念新的尖銳矛盾，本世紀20年代，人類開始研究微觀物理現(xiàn)象．1930年量子力學(xué)問世了，在量子力學(xué)中需要用到一種新的函數(shù)——δ-函數(shù)，

即?ρ（x）＝ 0，x≠0，
∞,x=0．
且
??δ-函數(shù)的出現(xiàn)，引起了人們的激烈爭論．按照函數(shù)原來的定義，只允許數(shù)與數(shù)之間建立對應(yīng)關(guān)系，而沒有把“∞”作為數(shù)．另外，對于自變量只有一個點不為零的函數(shù)，其積分值卻不等于零，這也是不可想象的．然而，δ-函數(shù)確實是實際模型的抽象．例如，當汽車、火車通過橋梁時，自然對橋梁產(chǎn)生壓力．從理論上講，車輛的輪子和橋面的接觸點只有一個，設(shè)車輛對軌道、橋面的壓力為一單位，這時在接觸點x=0處的壓強是
??P（0）=壓力／接觸面=1／0=∞．
??其余點x≠0處，因無壓力，故無壓強，即?P（x）=0.另外，我們知道壓強函數(shù)的積分等于壓力，即
?函數(shù)概念就在這樣的歷史條件下能動地向前發(fā)展，產(chǎn)生了新的現(xiàn)代函數(shù)定義：若對集合M的任意元素x,總有集合N確定的元素y與之對應(yīng)，則稱在集合M上定義一個函數(shù)，記為y=f（x）.元素x稱為自變元，元素y稱為因變元．
??函數(shù)的現(xiàn)代定義與經(jīng)典定義從形式上看雖然只相差幾個字，但卻是概念上的重大發(fā)展，是數(shù)學(xué)發(fā)展道路上的重大轉(zhuǎn)折，近代的泛函分析可以作為這種轉(zhuǎn)折的標志，它研究的是一般集合上的函數(shù)關(guān)系．
??函數(shù)概念的定義經(jīng)過二百多年來的錘煉、變革，形成了函數(shù)的現(xiàn)代定義，應(yīng)該說已經(jīng)相當完善了．不過數(shù)學(xué)的發(fā)展是無止境的，函數(shù)現(xiàn)代定義的形式并不意味著函數(shù)概念發(fā)展的歷史終結(jié)，近二十年來，數(shù)學(xué)家們又把函數(shù)歸結(jié)為一種更廣泛的概念—“關(guān)系”．
??設(shè)集合X、Y，我們定義X與Y的積集X×Y為
??X×Y=｛（x,y）｜x∈X,y∈Y｝．
??積集X×Y中的一子集R稱為X與Y的一個關(guān)系，若（x,y）∈R，則稱x與y有關(guān)系R，記為xRy.若（x,y）R，則稱x與y無關(guān)系．
??現(xiàn)設(shè)f是X與Y的關(guān)系，即fX×Y，如果（x,y），（x,z）∈f,必有y=z，那么稱f為X到Y(jié)的函數(shù)．在此定義中，已在形式上回避了“對應(yīng)”的術(shù)語，全部使用集合論的語言了．
??從以上函數(shù)概念發(fā)展的全過程中，我們體會到，聯(lián)系實際、聯(lián)系大量數(shù)學(xué)素材，研究、發(fā)掘、拓廣數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵是何等重要．