正交矩陣的性質(zhì)

運(yùn)算性質(zhì)，滿足結(jié)合律和分配律

結(jié)合律：?(λμ)A=λ(μA)?；?(λ+μ)A =λA+μA

分配律：?λ?(A+B)=λA+λB

擴(kuò)展資料

矩陣在物理學(xué)中的另一類(lèi)泛應(yīng)用是描述線性耦合調(diào)和系統(tǒng)。這類(lèi)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可以用矩陣的形式來(lái)表示，即用一個(gè)質(zhì)量矩陣乘以一個(gè)廣義速度來(lái)給出運(yùn)動(dòng)項(xiàng)，用力矩陣乘以位移向量來(lái)刻畫(huà)相互作用。

求系統(tǒng)的解的最優(yōu)方法是將矩陣的特征向量求出（通過(guò)對(duì)角化等方式），稱(chēng)為系統(tǒng)的簡(jiǎn)正模式。這種求解方式在研究分子內(nèi)部動(dòng)力學(xué)模式時(shí)十分重要：系統(tǒng)內(nèi)部由化學(xué)鍵結(jié)合的原子的振動(dòng)可以表示成簡(jiǎn)正振動(dòng)模式的疊加 。描述力學(xué)振動(dòng)或電路振蕩時(shí)，也需要使用簡(jiǎn)正模式求解 。

矩陣性質(zhì)是：

1、（A^T）＾T=A。

2、（A+）B^T=A^T+B^T。

3、（kA）＾T=kA^T。

4、（AB）＾T=B^TA^T。

5、轉(zhuǎn)置矩陣的行列式不變。將矩陣的行列互換得到的新矩陣稱(chēng)為轉(zhuǎn)置矩陣，轉(zhuǎn)置矩陣的行列式不變。

簡(jiǎn)介

矩陣的運(yùn)算是數(shù)值分析領(lǐng)域的重要問(wèn)題。將矩陣分解為簡(jiǎn)單矩陣的組合可以在理論和實(shí)際應(yīng)用上簡(jiǎn)化矩陣的運(yùn)算。

對(duì)一些應(yīng)用廣泛而形式特殊的矩陣，例如稀疏矩陣和準(zhǔn)對(duì)角矩陣，有特定的快速運(yùn)算算法。關(guān)于矩陣相關(guān)理論的發(fā)展和應(yīng)用，請(qǐng)參考《矩陣?yán)碚摗?。在天體物理、量子力學(xué)等領(lǐng)域，也會(huì)出現(xiàn)無(wú)窮維的矩陣，是矩陣的一種推廣。

李永樂(lè)講了正交矩陣。

正交矩陣是指其轉(zhuǎn)置等于逆的矩陣，假設(shè)A是一個(gè)n階方陣，Aт是A的轉(zhuǎn)置，如果有AтA=E（單位矩陣），則稱(chēng)A是正交矩陣。

正交矩陣是實(shí)數(shù)特殊化的酉矩陣，因此總是屬于正規(guī)矩陣。正交矩陣不一定是實(shí)矩陣，實(shí)正交矩陣（即該正交矩陣中所有元都是實(shí)數(shù)）可以看做是一種特殊的酉矩陣，但也存在一種復(fù)正交矩陣，這種復(fù)正交矩陣不是酉矩陣。

1、根據(jù)矩陣乘法的定義,單位矩陣的重要性質(zhì)為:AIn=A和InB=B

2、單位矩陣的特征值皆為1，任何向量都是單位矩陣的特征向量。

3、因?yàn)樘卣髦抵e等于行列式，所以單位矩陣的行列式為1。因?yàn)樘卣髦抵偷扔谯E數(shù)，單位矩陣的跡為n。

4、當(dāng)兩行進(jìn)行交換的時(shí)候行列式改變符號(hào)。

5、用矩陣的一行減去另一行的倍數(shù)，行列式不變。

6、如果矩陣是三角形的，那么行列式等于對(duì)角線上元素的乘積。

擴(kuò)展資料

矩陣常見(jiàn)于統(tǒng)計(jì)分析等應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科中，在物理學(xué)中，矩陣于電路學(xué)、力學(xué)、光學(xué)和量子物理中都有應(yīng)用；計(jì)算機(jī)科學(xué)中，三維動(dòng)畫(huà)制作也需要用到矩陣。 矩陣的運(yùn)算是數(shù)值分析領(lǐng)域的重要問(wèn)題。將矩陣分解為簡(jiǎn)單矩陣的組合可以在理論和實(shí)際應(yīng)用上簡(jiǎn)化矩陣的運(yùn)算。

對(duì)一些應(yīng)用廣泛而形式特殊的矩陣，例如稀疏矩陣和準(zhǔn)對(duì)角矩陣，有特定的快速運(yùn)算算法。關(guān)于矩陣相關(guān)理論的發(fā)展和應(yīng)用，請(qǐng)參考矩陣?yán)碚?。在天體物理、量子力學(xué)等領(lǐng)域，也會(huì)出現(xiàn)無(wú)窮維的矩陣，是矩陣的一種推廣。

性質(zhì)

相似變換是矩陣之間的一種等價(jià)關(guān)系，也就是說(shuō)滿足：

1、反身性：任意矩陣都與其自身相似。

2、對(duì)稱(chēng)性：如果A和B相似，那么B也和A相似。

3、傳遞性：如果A和B相似，B和C相似，那么A也和C相似。

矩陣間的相似關(guān)系與所在的域無(wú)關(guān)：設(shè)K是L的一個(gè)子域，A和B是兩個(gè)系數(shù)在K中的矩陣，則A和B在K上相似當(dāng)且僅當(dāng)它們?cè)贚上相似。這個(gè)性質(zhì)十分有用：在判定兩個(gè)矩陣是否相似時(shí)，可以隨意地?cái)U(kuò)張系數(shù)域至一個(gè)代數(shù)閉域，然后在其上計(jì)算若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。

如果兩個(gè)相似矩陣A和B之間的轉(zhuǎn)換矩陣P是一個(gè)置換矩陣，那么就稱(chēng)?A和B“置換相似”。 如果兩個(gè)相似矩陣A和B之間的轉(zhuǎn)換矩陣P是一個(gè)酉矩陣，那么就稱(chēng)?A和B“酉相似”。譜定理證明了每個(gè)正規(guī)矩陣都酉相似于某個(gè)對(duì)角矩陣。

擴(kuò)展資料：

相似變換下的不變性質(zhì)

兩個(gè)相似的矩陣有許多相同的性質(zhì)：

1、兩者的秩相等。

2、兩者的行列式值相等。

3、兩者的跡數(shù)相等。

4、兩者擁有同樣的特征值，盡管相應(yīng)的特征向量一般不同。

5、兩者擁有同樣的特征多項(xiàng)式。

6、兩者擁有同樣的初等因子

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對(duì)稱(chēng)矩陣的主子陣還是對(duì)稱(chēng)的

對(duì)于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣而言，主子陣的特征值和原矩陣的特征值有交錯(cuò)性質(zhì)，特征向量之間沒(méi)有什么很直接的聯(lián)系