如何理解「函數(shù)可以看成是一個(gè)無限維的向量」?

一個(gè)函數(shù)確實(shí)是一個(gè)無窮維矢量。

可以這樣看，比如三維空間中的一個(gè)點(diǎn)： (x,y,z), 可以看作是在三組基下，分別確定系數(shù)之后組合成一個(gè)點(diǎn)。 那么對(duì)于一個(gè)函數(shù)f(t)可以看作是在基 t 下的向量，由于t的取值無窮且連續(xù)，所以f(t)是個(gè)無窮維向量。

不同的基其實(shí)就是不同是視角看同一個(gè)東西，比如時(shí)域下的方波信號(hào)，是以時(shí)間為視角，同樣的東西，如果在頻率的角度下看，即看由什么頻率的正余弦信號(hào)組合，此時(shí)的基就是cos(n ?t)這種。

這個(gè)引用簡(jiǎn)而言之就是說，任意向量y都可以被看成在[0，1]單位區(qū)間內(nèi)的離散函數(shù)，為什么呢？假設(shè)y是個(gè)維度為P的向量，每一維由標(biāo)量x1, x2, ..., xp表示。把y全畫在x軸上怎么表示呢？

可以在x軸上[0，1]單位區(qū)間內(nèi)等分成P個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)的值就是對(duì)應(yīng)的標(biāo)量x1, x2, ..., xp的值。那當(dāng)P很大時(shí)，即y是個(gè)有無限維度的向量，就相當(dāng)于在x軸上[0，1]單位區(qū)間內(nèi)等分成無數(shù)個(gè)點(diǎn)，這樣畫出來的各個(gè)點(diǎn)的值就是連續(xù)的了。

這不就是連續(xù)的函數(shù)嗎？所以向量可以看成離散函數(shù)，而連續(xù)函數(shù)可以看成無限維的向量。

函數(shù)的解釋：

函數(shù)（function）的定義通常分為傳統(tǒng)定義和近代定義，函數(shù)的兩個(gè)定義本質(zhì)是相同的，只是敘述概念的出發(fā)點(diǎn)不同，傳統(tǒng)定義是從運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)出發(fā)，而近代定義是從集合、映射的觀點(diǎn)出發(fā)。