什么是伯努利方程??

伯努利方程
設(shè)在右圖的細(xì)管中有理想流體在做定常流動(dòng),且流動(dòng)方向從左向右,我們?cè)诠艿腶1處和a2處用橫截面截出一段流體,即a1處和a2處之間的流體,作為研究對(duì)象.設(shè)a1處的橫截面積為S1,流速為V1,高度為h1;a2處的橫截面積為S2,流速為V2,高度為h2.
思考下列問(wèn)題:
①a1處左邊的流體對(duì)研究對(duì)象的壓力F1的大小及方向如何
②a2處右邊的液體對(duì)研究對(duì)象的壓力F2的大小及方向如何
③設(shè)經(jīng)過(guò)一段時(shí)間Δt后(Δt很小),這段流體的左端S1由a1移到b1,右端S2由a2移到b2,兩端移動(dòng)的距離分別為ΔL1和ΔL2,則左端流入的流體體積和右端流出的液體體積各為多大 它們之間有什么關(guān)系 為什么
④求左右兩端的力對(duì)所選研究對(duì)象做的功
⑤研究對(duì)象機(jī)械能是否發(fā)生變化 為什么
⑥液體在流動(dòng)過(guò)程中,外力要對(duì)它做功,結(jié)合功能關(guān)系,外力所做的功與流體的機(jī)械能變化間有什么關(guān)系
推導(dǎo)過(guò)程:
如圖所示,經(jīng)過(guò)很短的時(shí)間Δt,這段流體的左端S1由a1移到b1,右端S2由a2移到b2,兩端移動(dòng)的距離為ΔL1和ΔL2,左端流入的流體體積為ΔV1=S1ΔL1,右端流出的體積為ΔV2=S2ΔL2.
因?yàn)槔硐肓黧w是不可壓縮的,所以有
ΔV1=ΔV2=ΔV
作用于左端的力F1=p1S2對(duì)流體做的功為
W1=F1ΔL1 =p1·S1ΔL1=p1ΔV
作用于右端的力F2=p2S2,它對(duì)流體做負(fù)功(因?yàn)橛疫厡?duì)這段流體的作用力向左,而這段流體的位移向右),所做的功為
W2=-F2ΔL2=-p2S2ΔL2=-p2ΔV
兩側(cè)外力對(duì)所選研究液體所做的總功為
W=W1+W2=(p1-p2)ΔV
又因?yàn)槲覀冄芯康氖抢硐肓黧w的定常流動(dòng),流體的密度ρ和各點(diǎn)的流速V沒(méi)有改變,所以研究對(duì)象(初態(tài)是a1到a2之間的流體,末態(tài)是b1到b2之間的流體)的動(dòng)能和重力勢(shì)能都沒(méi)有改變.這樣,機(jī)械能的改變就等于流出的那部分流體的機(jī)械能減去流入的那部分流體的機(jī)械能,即
E2-E1=ρ()ΔV+ρg(h2-h1)ΔV
又理想流體沒(méi)有粘滯性,流體在流動(dòng)中機(jī)械能不會(huì)轉(zhuǎn)化為內(nèi)能
∴W=E2-E1
(p1-p2)ΔV=ρ(-))ΔV+ρg(h2-h1)ΔV
整理后得:整理后得:
又a1和a2是在流體中任取的,所以上式可表述為
上述兩式就是伯努利方程.

當(dāng)流體水平流動(dòng)時(shí),或者高度的影響不顯著時(shí),伯努利方程可表達(dá)為
該式的含義是:在流體的流動(dòng)中,壓強(qiáng)跟流速有關(guān),流速V大的地方壓強(qiáng)p小,流速V小的地方壓強(qiáng)p大.

丹尼爾·伯努利在1726年提出了“伯努利原理”。這是在流體力學(xué)的連續(xù)介質(zhì)理論方程建立之前，水力學(xué)所采用的基本原理，其實(shí)質(zhì)是流體的機(jī)械能守恒。即：動(dòng)能+重力勢(shì)能+壓力勢(shì)能=常數(shù)。其最為著名的推論為：等高流動(dòng)時(shí)，流速大，壓力就小。
伯努利原理往往被表述為p+1/2ρv2+ρgh=C，這個(gè)式子被稱為伯努利方程。式中p為流體中某點(diǎn)的壓強(qiáng)，v為流體該點(diǎn)的流速，ρ為流體密度，g為重力加速度，h為該點(diǎn)所在高度，C是一個(gè)常量。它也可以被表述為p1+1/2ρv12+ρgh1=p2+1/2ρv22+ρgh2。
需要注意的是，由于伯努利方程是由機(jī)械能守恒推導(dǎo)出的，所以它僅適用于粘度可以忽略、不可被壓縮的理想流體。

流線上任意兩點(diǎn)的壓力勢(shì)能伯努利方程是理想流體定常流動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程、動(dòng)能與位勢(shì)能之和保持不變，意為流體在忽略粘性損失的流動(dòng)中