小學(xué)奧數(shù)

1)判斷103、437是質(zhì)數(shù)還是合數(shù).

根據(jù)試除法，103是質(zhì)數(shù)，437是合數(shù) 437=19*23

2)這個(gè)數(shù)是3

〔過(guò)程〕這是一個(gè)找符合條件的質(zhì)數(shù)問(wèn)題.由于質(zhì)數(shù)分布無(wú)一定規(guī)律，因此從最小的質(zhì)數(shù)試驗(yàn)起.希望能找到所求的質(zhì)數(shù)，然后再加以邏輯的證明.
〔結(jié)果〕因?yàn)?+10=12,2+14=16,所以質(zhì)數(shù)2不適合.
因?yàn)?+10=13，3+14=17，所以質(zhì)數(shù)3符合要求.
因?yàn)?+10=15，5+14=19，所以質(zhì)數(shù)5不合要求.
因?yàn)?+10=17，7+14=21，所以質(zhì)數(shù)7不適合.
因?yàn)?1+10=21，11+14=25，所以質(zhì)數(shù)11不適合.
……
從上面的觀察，3合乎要求，但符合條件的質(zhì)數(shù)是否只有3呢？這必須加以證明.證明除了3以外的所有正整數(shù)加上10和14均不能是質(zhì)數(shù).為此把正整數(shù)按模3同余分類.即：3k－1,3k+1（k為正整數(shù)）.
因?yàn)椋?k－1）+10=3k+9=3（k+3）是合數(shù)，（3k+1）+14=3k+15=3（k+5）是合數(shù)，所以3k－1和3k+1這兩類整數(shù)中的質(zhì)數(shù)加上10和14后不能都是質(zhì)數(shù).
因此，在3k－1和3k+1兩類整數(shù)中的質(zhì)數(shù)加上10和14后當(dāng)然不能都是質(zhì)數(shù).
對(duì)于3k這類整數(shù)，只有在k=1時(shí)，3k才是質(zhì)數(shù)，其余均為整數(shù).
所以所求的質(zhì)數(shù)只有3.

3)在101與300之間,只有3個(gè)約數(shù)的自然數(shù)有幾個(gè)?

顯而易見(jiàn)的是：如果一個(gè)數(shù)有3個(gè)約數(shù)，那么它一定是一個(gè)質(zhì)數(shù)的平方。

在101和300之間，有121（11^2）、169（13^2）、289（17^2）這3個(gè)數(shù)是一個(gè)質(zhì)數(shù)的平方，所以答案是3

103是質(zhì)數(shù)，437=11×37。

這個(gè)質(zhì)數(shù)是3，且只能是3，因?yàn)?0和14除以3分別余1，2，只能加上3的倍數(shù)才能得到仍為質(zhì)數(shù)的和。

有3個(gè)約數(shù)的自然數(shù)必須是質(zhì)數(shù)的平方。
11，13，17都滿足條件，答案是121，169，289。