什么是神機(jī)妙算？

9876****÷8=？

這是小學(xué)生能做的題目，結(jié)果是：9876****÷8=1234****

稍加觀察，便可發(fā)現(xiàn)這個(gè)式子還很有點(diǎn)“規(guī)律性”。被除數(shù)與商數(shù)都是八位數(shù)，各位數(shù)目字都得連續(xù)數(shù)，前者從大到小，后者從小到大。商數(shù)中1，2，3，4，5，6，7，9，單單少個(gè)8，而除數(shù)正好是8。

這個(gè)“缺8數(shù)”有著有趣的性質(zhì)，請(qǐng)看：

12 345 679×9=111 111 111

12 345 679×18=222 222 222

12 345 679×27=333 333 333

12 345 679×36=444 444 444

12 345 679×45=555 555 555

12 345 679×54=666 666 666

12 345 679×63=777 777 777

1 2 345 679×72=888 888 888

12 345 679×81=999 999 999

眼前這數(shù)字的海洋，波浪起伏，真是美不可言。對(duì)于一個(gè)觀察和推理能力都不強(qiáng)的人來(lái)說(shuō)，要從上式歸納出“缺8數(shù)”的性質(zhì)來(lái)，可是件難事，我們從中可以悟出一個(gè)道理，善于觀察和推理是通往神機(jī)妙算的橋梁。

計(jì)算等差數(shù)列之和，對(duì)于有初等代數(shù)知識(shí)的人來(lái)說(shuō)，是最容易不過(guò)的事，大家知道，這有一個(gè)公式可利用：

1+2+3+4+……nn×(n+1)〖〗2

如果要從1加起，加到100，那么用100來(lái)代入上式中的n，可得總和為5050。

求等差數(shù)列和公式是由誰(shuí)發(fā)現(xiàn)的？又是怎樣發(fā)現(xiàn)的？恐怕不是每一個(gè)人都能說(shuō)得出的。

求等差數(shù)列和公式是由古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯建立的。他采用形象簡(jiǎn)便的圖示辦法，把許多小石頭堆列成三角形數(shù)，如圖1所示：為了得到原來(lái)三角形數(shù)的一般表達(dá)式，他把同一個(gè)三角形數(shù)倒轉(zhuǎn)加到這原來(lái)的三角形數(shù)上，構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，其中一個(gè)有n個(gè)小石子，另一個(gè)有n+1個(gè)小石子。如圖2所示：

因而有下列等式：

2×(1+2+3+……+n)=n×(n+1)

1+2+3+……+n=n×(n+1)〖〗2

數(shù)學(xué)史上，還有一個(gè)相映成趣的故事：

100多年前，在德國(guó)某小學(xué)低年級(jí)的一個(gè)班里，有幾個(gè)孩子發(fā)出了鬧聲，因此老師決定懲罰他們一下。放學(xué)后把幾個(gè)孩子留下來(lái)罰做算術(shù)：從1加到100。正當(dāng)別的孩子還在抓頭撓耳時(shí)，一個(gè)孩子向窗外望了望，便交了卷。老師一看只好讓他先走。第二天老師興致勃勃地問(wèn)他怎么這樣快就找到了答案。孩子機(jī)敏地回答說(shuō)：“我想這道題目一定有一個(gè)快做的好辦法，我找到了一個(gè)。您知道，100加1是101，99加2也是101，這樣一直加下去就有了50個(gè)101，也就是5050。”

這個(gè)孩子就是后來(lái)的大數(shù)學(xué)家高斯。

在二千多年前，畢達(dá)哥拉斯就建立等差數(shù)列公式，自然是值得千古稱(chēng)道的事情。高斯的獨(dú)立發(fā)現(xiàn)也有著異曲同工之妙。對(duì)于一個(gè)年僅8歲的娃娃來(lái)說(shuō)，這是一個(gè)了不起的驚人發(fā)現(xiàn)。他動(dòng)腦筋的時(shí)間是如此之短，表明他的思維是何等的敏捷。小高斯還沒(méi)有受到邏輯思維的訓(xùn)練，但是他已具備某些樸素的邏輯推理能力。盡管他當(dāng)時(shí)沒(méi)有說(shuō)他運(yùn)用了哪種推理形式，我們?nèi)匀豢梢愿鶕?jù)推導(dǎo)過(guò)程加以整理?？闪谐上率剑?br/>
1+100=101

2+99=101

3+98=101

4+97=101

50+51=101

這50對(duì)是從1加到100的全部，每一對(duì)都是101。

這是一個(gè)完全的歸納推理。形式邏輯的歸納推理，就是指從個(gè)別性前提推出全類(lèi)一般性結(jié)論的推理。它分完全歸納推理和不完全歸納推理兩種。完全歸納推理的前提是關(guān)于個(gè)別性知識(shí)的論斷，而結(jié)論是關(guān)于一般性知識(shí)的論斷。因此，使用完全歸納推理可得到概括性的結(jié)論。它既是一種發(fā)現(xiàn)方法，又是一種證明方法。

應(yīng)用完全歸納推理要具備兩條：一是必須確認(rèn)所研究的那類(lèi)對(duì)象的每一個(gè)對(duì)象，二是必須確認(rèn)所概括的那一屬性是該類(lèi)每一對(duì)象都具有的。由于第一條的限制，完全歸納推理不適用于有大量分子或無(wú)窮分子所組成的類(lèi)。因此，這種歸納推理有很大的局限性。由于完全歸納推理在前提中考察的是某類(lèi)的全部對(duì)象，而不是某類(lèi)的一部分對(duì)象，因此結(jié)論沒(méi)有超出前提所斷定的范圍，也就是說(shuō)，結(jié)論是必然得出的。

小高斯要計(jì)算的是有限的等差數(shù)列之和，適合使用完全歸納推理；畢達(dá)哥拉斯要計(jì)算的是任意大的等差數(shù)列之和，形式邏輯的完全歸納推理就失掉了威力。他所采用的圖示方法實(shí)際上是運(yùn)用了數(shù)學(xué)歸納法。畢達(dá)哥拉斯求得的是等差數(shù)列的一般公式，高斯解決的僅僅是一個(gè)實(shí)例，高低優(yōu)劣自不待說(shuō)。我們總不能去苛求小高斯吧。

下面我們附帶介紹一種二位數(shù)減法的快速方法。例如，93減39等于幾？如果按部就班地做減法，總得費(fèi)點(diǎn)心計(jì)。我們可以用9減去3得6，再用6乘9得54。又如，求86減68的差，我們可以用8減6得2，用2乘9得18。上面兩例有個(gè)共同特點(diǎn)，即兩個(gè)二位數(shù)的個(gè)位數(shù)和十位數(shù)是正好相反的。求100以?xún)?nèi)的所有這類(lèi)二位數(shù)的差，都可以用上述先做減法后做乘法的辦法來(lái)求，雖然有兩個(gè)步驟，但幾乎可以應(yīng)聲而答。這種算法能被概括出來(lái)，也是完全歸納推理的應(yīng)用。