64池塘里有多少條魚

問題3:小明是這樣做的:從口袋中隨機摸出一球，記下顏色，再把它放回口袋中，不斷重復上述過程。我們共摸了200 次，其中有57 次摸到黑球，因此我估計口袋中大約有20 個白球。 你能說說這樣做的道理嗎? 問題 4:小亮是這樣做的:利用抽樣調(diào)查的方法，從口袋中一次摸出 10 個球，求出其中黑球與10 的比值，有x 個白球再把球放回袋里，不斷重復上面的過程。我總共摸了 20 次，黑球與 10 的比值的平均數(shù)為 0.25，因此我估計口袋中大約有24 個白球。 你能說說這樣做的道理嗎? 問題5:如果口袋里只有若干個白球，沒有其他顏色的球，而且不許將球倒出來數(shù)，那么你如何估計其中的白球數(shù)呢? 問題6:你還能設計一個方案估計魚塘中魚的總數(shù)嗎? 6.4 池塘里有多少條魚 一、學習目標 進一步體會概率與統(tǒng)計之間的聯(lián)系，用樣本去估計總體的統(tǒng)計思想. 二、能力目標 1. 結(jié)合具體情境.初步感受統(tǒng)計推斷的合理性. 2. 形成解決問題的一些基本策略.體驗解決問題策略的多樣性，發(fā)展實踐能力和創(chuàng)新精神. 3. 學會與人合作，并能與他人交流思維過程和結(jié)果. 4.初步形成評價與反思的意識. 三、情感目標 1.積極參與數(shù)學學習活動，對數(shù)學有好奇心和求知欲 2.初步認識數(shù)學和人類的密切聯(lián)系及對人類歷史發(fā)展的作用，體驗數(shù)學活動充滿著探索與創(chuàng)造，感受數(shù)學的應用意識. 四、教學重難點: 1.結(jié)合具體情境，初步感受統(tǒng)計推斷的合理性. 2.進一步體會概率與統(tǒng)計之間的關(guān)系. 3.結(jié)合具體情境，初步感受統(tǒng)計推斷的合理性. 五、教學過程: 〔創(chuàng)設問題情境，引入新課〕 同學們都知道在《西游記》里有一個深受大家喜愛的人物，他神通廣大，只要有妖魔出入的地方總有他的身影，他是誰?(孫悟空、孫大圣????)但這個無所不能的大圣今天卻遇到了一個難題，聽老師細細給你們講來: 話說孫悟空棄了養(yǎng)馬的官，從天宮回到花果山之后，樹起了齊天大圣的旗幟，天天練兵，準備與玉皇大帝派來的天兵天將決一死戰(zhàn). “立正!”大圣向小猴兵們發(fā)出號令. “嘻嘻!什么立正”這些小猴子仍在嘰嘰喳喳，東蹦西跳.有話說“猴子屁股坐不住”，其實“猴子雙腿也立不正”. “重來一遍，立正--報數(shù)!” “嘻嘻!報什么數(shù)” 大圣面對著這群小猴子，心中有點不快，訓練了幾天，立正，稍息，報數(shù)，樣樣都不成. “連究竟有多少猴兵也弄不清，這可怎么辦呢”大圣束手無策了. “這好辦，”大圣的參謀長在一旁說. “你有什么好的主意?” “立正，報數(shù)這一套在花果山上行不通，大圣，您干脆把這些猴兵放了吧!” “集合起來，還東溜西竄的，放了還數(shù)得清數(shù)目” “放假三天，一定能數(shù)清.” “你別說胡話了!”大圣不悅地說. 參謀長在大圣耳邊輕輕說了一番，喜得大圣拍手叫好. “參謀長，真有你的!” 原來參謀長有他的妙計. 第二天，大圣和參謀長，在小猴兵中隨意拉了100 只猴子，將這些猴子頭上的毛剃去一片，然后叫他們歸隊. 大圣向眾小猴宣布:“這些日子來，訓練很有成績，因此本大圣決定放假三天.” 大圣的話音未落，小猴兵早已跑的無影無蹤了. 你知道孫大圣的參謀長想出了怎樣的妙計嗎? 其實在我們生活中也遇到過和孫大圣同樣的問題.例如:要想知道缸里有多少條魚,只要數(shù)一數(shù)就可以了.但要估計魚塘里有多少條魚,該怎么辦呢? 〔講授新課〕 (1)我們先考慮一個比較簡單的問題--摸球問題(多媒體演示) 問題 1:一個口袋里有 8 個黑球和若干個白球,如果不許倒出來數(shù)，那么你能估計出其中的白球嗎? 請同學對此問題展開討論,獲得解決問題的方案. 方案一:根據(jù)我們學過求概率的方法。如果一個袋子里有2 個白球，3 個黑球，任意摸出一個球是黑球的概率有兩種求法。一種是理論概率的求法，因為任意摸出一個球有5 種等可能的結(jié)果，而摸出的是黑球有3 種等可能的結(jié)果，所以任意摸出一球是黑球的概率為 ;一種是用實驗的方法，任意摸出一個球叫做一次實驗，當實驗次數(shù)很大是時，實驗頻率穩(wěn)定于理論概率。因此一口袋中有 8 個黑球和若干個白球，設白球有x 個，則叢袋中摸出一球是黑球的概率為 ;然后我們通過多次實驗，我們可以估計出口袋中隨機摸出一個球是黑球的概率。利用它和 約相等，即可估計出自然數(shù)x。 方案二:也可以用抽樣調(diào)查的方法。從口袋中隨機摸出 10 個球，求出其中黑球與 10 的比值，再把球放回袋里，不斷重復上面的過程。通過這樣多次抽樣調(diào)查，求出樣本中的黑球數(shù)與10 的比值的“平均水平”，這個“平均水平”根據(jù)抽樣的隨機性近似于 ，因此可以估計出x 的值。 通過兩位同學的解釋，初步感受統(tǒng)計推斷的合理性，體會了統(tǒng)計與概率之間的關(guān)系，下面我們來看小明和小亮的做法和你想的一樣嗎 多媒體演示 小明是這樣做的:從口袋中隨機摸出一球，記下顏色，再把它放回口袋中，不斷重復上述過程。我們共摸了200 次，其中有57 次摸到黑球，因此我估計口袋中大約有20 個白球。 你能說說這樣做的道理嗎? 小亮是這樣做的:利用抽樣調(diào)查的方法，從口袋中一次摸出 10 個球，求出其中黑球與10 的比值，有x 個白球再把球放回袋里，不斷重復上面的過程。我總共摸了 20 次，黑球與 10 的比值的平均數(shù)為 0.25，因此我估計口袋中大約有 24 個白球。 你能說說這樣做的道理嗎? 小明這樣做的道理是:假設口袋中有 20 個白球，通過多次實驗我們可以估計出從口袋中隨機摸出一球，它為黑球的概率為 200 57 ;另一方面，這個概率又等于 8 8 x ，據(jù)此可得 200 57 = 8 8 x ，解得x=20 8 8 x 8 8 x 5 3 8 8 x 所以由此可估計出口袋中大約有20 個白球。 小亮這樣做的道理是:同樣設口袋里有x 個白球，通過多次抽樣調(diào)查，求出樣本中的黑球數(shù)與1 總球數(shù)比值的“平均水平”，這個“平均水平”應近似于 8 8 x 。由于小亮求出的平均水平為0.25，據(jù)此可得 8 8 x =0.25 解得x=24，所以可估計口袋中大約有24 個白球。 這種估計比較粗略，但我們知道這些常用的估計方法在現(xiàn)實生活中應用比較廣泛。下面我們通過具體的實踐活動，切實感受小明和小亮做法的合理性。 (2)做一做(多媒體演示) 分組進行下面好上活動:在每個小組的口袋中放入已知個數(shù)的黑球和若干個白球 (1)分別利用上面兩種方法估計口袋中所放的白球數(shù)。 (2)打開口袋，數(shù)數(shù)口袋中白球的個數(shù)，你們的估計值和實際情況一致嗎?為什么? (3)全班交流，看看各組的估計結(jié)果是否一致，各組結(jié)果與實際的情況差別有多大? (4)將各組的數(shù)據(jù)匯總，并根據(jù)這個數(shù)據(jù)估計一個口袋里的白球數(shù)，看看估計結(jié)果有如何? (5)為了使估計結(jié)果較為準確，應該注意些什么? 你們小組的的估計值和實際情況一致嗎? (估計值和實際情況有偏差) 為什么有偏差? (因為我們用實驗估計的概率和理論概率有偏差。) 很好，所以小明和小亮的方法可能還比較粗略。如果將各組的數(shù)據(jù)匯總，并根據(jù)這個數(shù)據(jù)估計一個口袋中的白球數(shù)，看看結(jié)果如何? (匯總后得到的估計值和實際情況差別較小) 為了使估計結(jié)果較為準確，應該注意些什么? (摸球要保證隨機性，摸球時，要充分把袋子里的球搖勻。實驗次數(shù)越多越準確。) 通過親自實踐，我們除感受到兩種方法合理外，還存在著估計的偏差。但它們在現(xiàn)實生活中意義卻很重要。請同學們思考，它們各有那些優(yōu)缺點? 從理論上講如果實驗次數(shù)較多，那么小明的方法應比較準確但，但這種方法現(xiàn)實意義不大，想比較而言，小亮的方法具有現(xiàn)實意義。當然當總數(shù)比較小時，用小亮的方法估計，其準確度較差，但對許多實際問題(其總數(shù)較大時)，這種精確度是允許的，而且這種方法方便可行。 (3)想一想(多媒體演示) 如果口袋里只有若干個白球，沒有其他顏色的球，而且不許將球倒出來數(shù)，那么你如何估計其中的白球數(shù)呢?與同伴交流。 (可以向口袋里另放幾個黑球，也可以從口袋里抽出幾個球?qū)⑺鼈內(nèi)境珊谏蜃錾蠘擞洝? 還記得我們最開始講的故事《孫大圣點兵》嗎?孫大圣的參謀長到底想出什么辦法?你會接著把這個故事講完嗎? (第三天，大圣和參謀長派了擔任警衛(wèi)的士兵到前山后山上去捕捉小猴兵，一會兒，捕來了200 只。大圣上前一檢查發(fā)現(xiàn)其中4 只是“頭上無毛”的。 “200 只中，有4 只是頭上無毛的，說明在山里隨意抓到1 只猴子，恰巧抓到‘頭上無毛’的頻率是 200 4 ，即 50 1 ，也可以說，概率大約是 50 1 ?！?“而現(xiàn)在一共是 100 只猴子是‘頭上無毛’的，所以所有猴子大約有 5000 只。” “我手下有雄兵半萬!”大圣哈哈大笑:“參謀長這個辦法真妙!”) 不過我要提醒同學們注意，“頭上無毛” 的猴子雖和其他猴子混合在一起，但畢竟不是絕對均勻分布在山里的。所以，隨意捕 200 只猴子，“頭上無毛”不一定總是4 只。如果“頭上無毛”的是5 只，3 只，那么隨之估計猴兵總數(shù)也就不是 5000 個了。這種方法僅僅是估計。這個估計可能會與事實有很大的出入。這說明，用局部調(diào)查得到的資料來估計整體的情況，有可能回作出錯誤的判斷。但是，只要有相當?shù)臄?shù)量的調(diào)查數(shù)據(jù)，調(diào)查方法又是正確的，估計數(shù)與事實有較大出入的可能性是很小的。所以，這種估計還是很有價值的。 (4)你還能設計一個方案估計魚塘中魚的總數(shù)嗎? 可以象孫大圣的參謀長一樣，先叢池塘里撈出若干條魚，將它們做上標記，然后放會魚塘。經(jīng)過一段時間后，再從中隨機捕撈若干條魚，并以其中有標記的魚的比例做整個魚塘中有標記的魚的比例，據(jù)此可以估計魚塘中魚的數(shù)量。 真棒!利用這種方法還可以解決生活中的那些問題?請舉例說明。 生物工作者為了研究某個地區(qū)的生態(tài)狀況，往往需要估計這一地方各種生物的數(shù)量。例如瀕臨滅絕的一種鳥的數(shù)量去?？梢韵炔东@一定數(shù)量的鳥，給它們做上標記放回森林。經(jīng)過一段時間后，再從中隨機捕獲若干只這樣的鳥，并以其中有標記的鳥的比例作為這種群中有標記的鳥的比例，據(jù)此就可以估計森林中所有這種鳥的數(shù)量。 真精彩。你將來一定是保護環(huán)境的科學工作者。祝賀你。 〔課堂小結(jié)〕 本節(jié)課我們經(jīng)歷了具體的情境，如孫大圣點兵，估計池塘里的魚等，初步感受統(tǒng)計推斷的合理性，進一步體會了概率和統(tǒng)計之間的聯(lián)系。小明和小亮的估計方法，特別是小亮的估計方法在現(xiàn)實生活中具有很大的意義，例如在生物學的研究中，生物學家經(jīng)常要估計某個種群的數(shù)量等。 〔課堂檢測〕 ⒈(2003 內(nèi)蒙古赤峰)赤蜂某地區(qū)為估計該地區(qū)的黃羊的只數(shù)，先捕捉 20 只黃羊給它們分別做上標記，然后放還，待有標記的黃羊完全混合于黃羊群后，第二次捕捉 40 只黃羊，發(fā)現(xiàn)其中兩只有標記。從而估計這個地區(qū)有黃羊_____ 只 2.(2003 北京昌平)某瓜農(nóng)采用大棚栽培技術(shù)種植了一畝(一畝=666.7 米 2 )良種西瓜，約產(chǎn)800 個，在西瓜上市前該瓜農(nóng)隨機摘取了10 個 西瓜，稱重如下表所示: 質(zhì)量(單位:千克) 6.3 6.5 7 7.5 7.7 8.0 數(shù)量(單位:個) 1 2 3 4 5 6 計算這10 個西瓜平均重_____千克;估計這畝地共產(chǎn)西瓜_____千克。 〔課后作業(yè)〕 習題6.6 第1 題