體積與重量?jī)焊?/span>

兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的模與另一個(gè)向量在這個(gè)向量的方向上的投影的乘積。?　　

兩向量α與β的數(shù)量積：α·β=|α|*|β|cosθ；其中|α|、|β|是兩向量的模，θ是兩向量之間的夾角(0≤θ≤π)。??

若有坐標(biāo)α(x1,y1,z1)?；β(x2,y2,z2)，那么?α·β=x1x2+y1y2+z1z2；　|α|=sqrt(x1^2+y1^2+z1^2)；|β|=sqrt(x2^2+y2^2+z2^2)。?　　

因此，用數(shù)量積可以求出兩向量的夾角的余弦cosθ=α·β/|α|*|β|。?　　

已知兩個(gè)向量A和B,它們的夾角為C,則A的模乘以B的模再乘以C的余弦稱為A與B的數(shù)量積(又稱內(nèi)積)?　　

即已知兩個(gè)非零向量a和b,它們的夾角為θ,則數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積,記作a·b（"·“不可省略，若用“×”則成了向量積）

噸（1000千克），千克（1000克），克， 市斤（1市斤=500克）（非國(guó)際單位），市兩（一兩=50克） 磅（非國(guó)際單位），1 克 （1 000 毫克 ），1毫克（1 000 微克）

向量的數(shù)量積公式：a*b=|a||b|cosθ ?a,b表示向量，θ表示向量a,b共起點(diǎn)時(shí)的夾角，很明顯向量的數(shù)量積表示數(shù)，不是向量。

已知兩個(gè)非零向量a、b，那么|a||b|cosθ（θ是a與b的夾角）叫做a與b的數(shù)量積或內(nèi)積。記作a·b。兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a·b=x1·x2+y1·y2。

向量數(shù)量積的運(yùn)算律：

⑴交換律：a·b=b·a

⑵數(shù)乘結(jié)合律：（λa）·b=λ（a·b)=a·（λb）

⑶分配律：（a+b）·c=a·c+b·c

向量數(shù)量積公式：如果向量 a、b 的坐標(biāo)分別是（a1,a2,.,an）、（b1,b2,.,bn）,那么 a*b=a1b1+a2b2+.+anbn 。

數(shù)量積是接受在實(shí)數(shù)R上的兩個(gè)向量并返回一個(gè)實(shí)數(shù)值標(biāo)量的二元運(yùn)算。向量積，數(shù)學(xué)中又稱外積、叉積，物理中稱矢積，叉乘，是一種在向量空間中向量的二元運(yùn)算。

向量積(帶方向):也被稱為矢量積，叉積即交叉乘積，外積，是一種在向量空間中向量的二元運(yùn)算。與點(diǎn)積不同，它的運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)偽向量而不是一個(gè)標(biāo)量。

向量數(shù)量積的基本性質(zhì)：

設(shè)ab都是非零向量θ是a與b的夾角則。

① cosθ=a·b/|a||daob|。

②當(dāng)a與b同向時(shí)a·b=|a||b|當(dāng)a與b反向時(shí)a·b=-|a||b|。

③ |a·b|≤|a||b|。

④a⊥b=a·b=0適用在平面內(nèi)的兩直線。

向量數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律。

1.交換律α·β=β·α。

2.分配律(α+β)·γ=α·γ+β·γ。

3.若λ為數(shù)(λα)·β=λ(α·β)=α·(λβ)。

若λμ為數(shù)(λα)·(μβ)=λμ(α·β)。

4.α·α=|α|^2 此外α·α=0=α=0。

向量的數(shù)量積不滿足消去律即一般情況下α·β=α·γα≠0 ≠β=γ。

向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律即一般α·β)·γ ≠α·β·γ。

相互垂直的兩向量數(shù)量積為0。

向量的叉乘運(yùn)算法則為|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin，向量的外積不遵守乘法交換率，因?yàn)橄蛄縜×向量b=-向量b×向量a。

向量的叉乘運(yùn)算法則

1點(diǎn)乘和叉乘的區(qū)別

點(diǎn)乘，也叫向量的內(nèi)積、數(shù)量積。顧名思義，求下來(lái)的結(jié)果是一個(gè)數(shù)。

向量a·向量b=|a||b|cos

在物理學(xué)中，已知力與位移求功，實(shí)際上就是求向量F與向量s的內(nèi)積，即要用點(diǎn)乘。

叉乘，也叫向量的外積、向量積。顧名思義，求下來(lái)的結(jié)果是一個(gè)向量，記這個(gè)向量為c。

|向量c|=|向量a×向量b|=|a||b|sin

向量c的方向與a，b所在的平面垂直，且方向要用“右手法則”判斷（用右手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝著手心的方向擺動(dòng)到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向）。

向量的外積不遵守乘法交換率，因?yàn)橄蛄縜×向量b=-向量b×向量a。

2物理學(xué)中的應(yīng)用

在物理學(xué)中，已知力與力臂求力矩，就是向量的外積，即叉乘。

將向量用坐標(biāo)表示（三維向量），

若向量a=(a1,b1,c1)，向量b=(a2,b2,c2)，

則向量a×向量b=| i j k ||a1 b1 c1||a2 b2 c2|=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)

（i、j、k分別為空間中相互垂直的三條坐標(biāo)軸的單位向量）。

積蓄力量等待時(shí)機(jī)的成語(yǔ)：厚積薄發(fā)、蓄勢(shì)待發(fā)、養(yǎng)精蓄銳。

智者以愚示人，弱者以弱示人，能者以不能示人，其目的就是為了蒙蔽對(duì)手，爭(zhēng)取主動(dòng)，積蓄力量。所以，在我們沒(méi)有擁有可以抵抗外界環(huán)境壓力的能力時(shí)，可以將自己的力量隱藏起來(lái)，當(dāng)儲(chǔ)備的能量足夠強(qiáng)大，在展現(xiàn)出來(lái)，定能達(dá)到一鳴驚人的效果。

美國(guó)黃石公園一片一片的松樹(shù)林，其中最常見(jiàn)的一種松樹(shù)叫“屋梁松”。屋梁松的松塔可以掛在樹(shù)上很多年不脫落，即使在狂風(fēng)烈日下也不會(huì)張開(kāi)。

當(dāng)春天來(lái)臨，萬(wàn)物復(fù)蘇，屋梁松的種子依然被緊緊地包裹在松塔里，與外面的世界相隔絕。偶爾山火來(lái)臨，整片樹(shù)林都被烈火吞噬，大火的高溫讓松塔釋放出來(lái)儲(chǔ)蓄已久的種子。由于種子有堅(jiān)固的種皮保護(hù)，所以安全地度過(guò)了危險(xiǎn)期。

山火過(guò)后，大部分動(dòng)植物都變成了灰燼，為土壤留下了豐富的養(yǎng)料。由于沒(méi)有其他樹(shù)木爭(zhēng)奪生存空間，屋梁松在充足的陽(yáng)光、水分和養(yǎng)料中成長(zhǎng)。第二年的春天，這些種子就會(huì)在一片灰燼中破土而出，不久，漫山遍野都是屋梁松的幼苗。

每次火災(zāi)過(guò)后，屋梁松總是能最早占領(lǐng)生存的地盤(pán)，因此，在黃石公園里，屋梁松成為分布最廣的樹(shù)種之一。

時(shí)機(jī)沒(méi)有成熟時(shí)，請(qǐng)不要懊惱自己懷才不遇，也不要怨恨被環(huán)境所束縛。環(huán)境所帶給你的，或許是你生命中的松塔，幫你積蓄力量，等待釋放的最佳時(shí)機(jī)。只要你信中擁有希望，總有一天，你日積月累的精華定將在熊熊烈火后迸發(fā)，你將會(huì)成為在廢墟中第一個(gè)站起來(lái)“屋梁松”。

形容積蓄力量的四字成語(yǔ)詞語(yǔ):養(yǎng)精蓄銳yǎng jīng xù ruì [釋義] 養(yǎng):保養(yǎng);精:精神;蓄:積蓄;銳:銳氣。