泰式語兒歌

泰勒展開式定義為若函數(shù)f(x)?在包含x0的某個開區(qū)間（a,b）上具有（n+1)階的導數(shù)，那么對于任一x∈（a,b），有f(x)=f(x0)/0!+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*((x-x0))^2+f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n+Rn(x）。

其中，Rn(x）＝f(n+1)(ξ）/(n+1)!*(x-x0)^(n+1)，此處的ξ?為x0?與x?之間的某個值。

擴展資料：

泰勒展開式是數(shù)學分析中重要的內(nèi)容，也是研究函數(shù)極限和估計誤差等方面不可或缺的數(shù)學工具，集中體現(xiàn)了微積分“逼近法”的精髓，在近似計算上有獨特的優(yōu)勢。利用泰勒展開式可以將非線性問題化為線性問題，且具有很高的精確度，因此其在微積分的各個方面都有重要的應用。

泰勒展開式可以應用于求極限、判斷函數(shù)極值、求高階導數(shù)在某點的數(shù)值、判斷廣義積分收斂性、近似計算、不等式證明等方面。

泰勒展開式常用公式是f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+[f''(a)/2！](x-a)^2+……+[f(n)(a)/n！](a)(x-a)^n。

泰勒公式，是一個用函數(shù)在某點的信息描述其附近取值的公式。如果函數(shù)滿足一定的條件，泰勒公式可以用函數(shù)在某一點的各階導數(shù)值做系數(shù)構建一個多項式來近似表達這個函數(shù)。常用公式為f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+[f''(a)/2?。?x-a)^2+……＋[f(n)(a)/n?。?a)(x-a)^n。

在高等數(shù)學的理論研究及應用實踐中，泰勒公式有著十分重要的應用，簡單歸納如下：

(1)應用泰勒中值定理（泰勒公式）可以證明中值等式或不等式命題。

(2)應用泰勒公式可以證明區(qū)間上的函數(shù)等式或不等式。

(3)應用泰勒公式可以進行更加精密的近似計算。

(4)應用泰勒公式可以求解一些極限。

(5)應用泰勒公式可以計算高階導數(shù)的數(shù)值。

泰勒公式展開是：

泰勒公式是將一個在x=x0處具有n階導數(shù)的函數(shù)f(x)利用關于(x-x0)的n次多項式來逼近函數(shù)的方法。

若函數(shù)f(x)在包含x0的某個閉區(qū)間[a,b]上具有n階導數(shù)，且在開區(qū)間(a,b)上具有(n+1)階導數(shù)，則對閉區(qū)間[a,b]上任意一點x，成立下式：

其中，f(n)(x)表示f(x)的n階導數(shù)，等號后的多項式稱為函數(shù)f(x)在x0處的泰勒展開式，剩余的Rn(x)是泰勒公式的余項，是(x-x0)n的高階無窮小。

實際應用中：

泰勒公式需要截斷，只取有限項，一個函數(shù)的有限項的泰勒級數(shù)叫做泰勒展開式。泰勒公式的余項可以用于估算這種近似的誤差。

泰勒展開式的重要性體現(xiàn)在以下三個方面：

冪級數(shù)的求導和積分可以逐項進行，因此求和函數(shù)相對比較容易。一個解析函數(shù)可被延伸為一個定義在復平面上的一個開片上的解析函數(shù)，并使得復分析這種手法可行。泰勒級數(shù)可以用來近似計算函數(shù)的值。