均質(zhì)機(jī)

假設(shè)大地由均勻各向同性介質(zhì)所組成，現(xiàn)討論由高空向地球垂直入射的平面電磁波在其中的傳播特性，并導(dǎo)出地面電磁場(chǎng)與介質(zhì)電阻率之間的關(guān)系式。

（一）均勻介質(zhì)中平面波的傳播

引入笛卡爾坐標(biāo)系，令z軸垂直向下，x-y軸位于地表水平面上。我們把麥克斯韋旋度方程（1?2?1a）和（1?2?2a）展成分量形式：

▽×E=iωμH

地電場(chǎng)與電法勘探

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地電場(chǎng)與電法勘探

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由于平面電磁波垂直入射于均勻各向同性大地介質(zhì)中，其電磁場(chǎng)沿水平方向上是均勻的，即

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將它們代入式（1?2?19）～（1?2?24）中，有

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H_z=0（2?2?21a）

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E_z=0（1?2?24a）

由式（1?2?19a）～（1?2?24a）可以看出：電磁場(chǎng)分量E_y只和H_x有關(guān)，H_y只和E_x有關(guān)，它們都沿z軸傳播，物理學(xué)中稱這種波為線性偏振波。我們以場(chǎng)沿y方向的分量來(lái)命名線性偏振波，稱E_y-H_x一組為E偏振波，H_y-E_x一組為H偏振波。兩組線性偏振波中電磁場(chǎng)之間的關(guān)系和相應(yīng)的波動(dòng)方程為：

E偏振（E_y-H_x）

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H偏振（H_y-E_x）

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其中：

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而且，兩組波中均無(wú)場(chǎng)的垂直分量，即

E_z=H_z=0

還應(yīng)指出，在均勻各向同性質(zhì)介質(zhì)中上述兩組線性偏振波的分解是任意的，因?yàn)槲覀儗?duì)坐標(biāo)軸x和y的方位并未作任何限制。如果我們?nèi)∽鴺?biāo)y軸沿磁場(chǎng)H的極化方向，即令H_y=H，H_x=0，那么，根據(jù)對(duì)上述偏振波的分析，必有E=E_x，E_y=0。這就是說(shuō)，平面波在均勻各向同性介質(zhì)中，其電場(chǎng)E和磁場(chǎng)H是正交的（E⊥H）。以后我們將會(huì)看到，在水平不均勻或非各向同性介質(zhì)中，偏振波的分解將受到介質(zhì)電性軸的限制，且介質(zhì)中電場(chǎng)E和磁場(chǎng)H是不正交的。另外，由于平面電磁波亦稱TEM波（橫電磁波），我們還把E偏振波稱為TE波，H偏振波稱為TM波。這些概念和術(shù)語(yǔ)以后我們將常用到。

現(xiàn)在我們來(lái)討論波的傳播問(wèn)題。我們以H偏振為例，這時(shí)有波動(dòng)方程（1?2?27）：

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這是一個(gè)常微分方程，其一般解為

H_y=Ae^-kz+Be^kz（1?2?29）

式中A和B是待定的積分常數(shù)，它由邊界條件和初始條件來(lái)確定。由于在無(wú)窮遠(yuǎn)（z→∞）處場(chǎng)H_y=0，它要求積分常數(shù)B=0。于是：

H_y=Ae^-kz（1?2?30）

當(dāng)z=0時(shí)，有

H_y=H_oye^-iωt=A（1?2?31）

這里假設(shè)H_oy和e^-iωt分別為地面上磁場(chǎng)H的振幅和時(shí)間因子。再把傳播常數(shù)k寫成復(fù)數(shù)形式：

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將式（1?2?31）和（1?2?32）代入式（1?2?30）中，得：

H_y=H_oye^-iωte^iβze^-αz（1?2?33）

我們知道式中e^-iωt表示任一點(diǎn)的場(chǎng)隨時(shí)間是諧變的，角頻率ω=2π/T表示單位時(shí)間內(nèi)場(chǎng)振動(dòng)次數(shù)（即1/T）的2π倍，周期T是出現(xiàn)相鄰兩同相點(diǎn)的時(shí)間間隔；而e^iβz表示場(chǎng)沿傳播方向z是諧變的，βz正表示了隨距離諧變的相位，故稱β為相位系數(shù)；且有β=2π/λ，它表示一個(gè)波長(zhǎng)（λ）上相位變化了2π弧度，λ小則β大，相位變化快。波長(zhǎng)λ是電磁波的一個(gè)重要參數(shù)，因?yàn)樗菆?chǎng)的頻率和介質(zhì)的電性參數(shù)的函數(shù)：

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取μ_r=1，即μ=μ₀=4π×10^-7H/m，并對(duì)ρ、T選定單位后，得到便于計(jì)算的數(shù)值方程：

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另外，式（1?2?33）中e^-αz表示場(chǎng)振幅沿傳播方向z是呈指數(shù)衰減的，α為介質(zhì)的吸收系數(shù)，它是傳播常數(shù)k的實(shí)數(shù)部分。由上面的推導(dǎo)可知，吸收系數(shù)α和傳播常數(shù)k可以用波長(zhǎng)來(lái)表示：

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式（1?2?33）可改寫為

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它表示隨時(shí)間諧變的電磁場(chǎng)在均勻各向同性大地介質(zhì)中傳播時(shí)，沿傳播方向是諧變的，并且按指數(shù)規(guī)律衰減。

考慮到介質(zhì)對(duì)電磁波的吸收作用，還須引入穿透深度的概念。穿透深度表示場(chǎng)振幅衰減為地面值的1/e時(shí)電磁波所傳播的距離。用P來(lái)表示穿透深度，有關(guān)系式：

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顯然，

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它表示穿透深度與波長(zhǎng)λ成正比，或者說(shuō)介質(zhì)的導(dǎo)電性越好，信號(hào)頻率越高，場(chǎng)衰減得越快，這時(shí)場(chǎng)將只集中在介質(zhì)的淺部，物理學(xué)中稱這種現(xiàn)象為趨膚效應(yīng)，因而穿透深度也稱趨膚深度。趨膚深度越大，大地電磁測(cè)深法的勘測(cè)深度越深，因而趨膚深度具有勘測(cè)深度的意義。

（二）介質(zhì)的電阻率和波阻抗的關(guān)系

為了研究均勻各向同性大地介質(zhì)的電阻率和地面電磁場(chǎng)測(cè)量值之間的關(guān)系，我們引入波阻抗的概念。平面波的波阻抗定義為

Z=E/H

波阻抗的單位：

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由于均勻各向同性介質(zhì)中電場(chǎng)E和磁場(chǎng)H是正交的，所以，在地面任意方位的正交測(cè)量軸x和y上，有（見(jiàn)圖1?2?8）

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它表明沿任意正交測(cè)量軸上測(cè)得的波阻抗都相等，即均勻各向同性介質(zhì)中波阻抗是和測(cè)量軸方位無(wú)關(guān)的標(biāo)量，稱為標(biāo)量阻抗。

圖1?2?8 平面電磁波在地面正交坐標(biāo)系上的分解

我們以H偏振波來(lái)討論波阻抗和介質(zhì)電阻率的關(guān)系，根據(jù)式（1?2?30）

H_y=Ae^-kz

偏振波中E_x和H_y的關(guān)系由式（1?2?22a）得：

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波阻抗Z_xy為

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用同樣方法可以求得E偏振波的波阻抗：

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顯然，波阻抗是一復(fù)數(shù)：

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兩組波阻抗的振幅值相等，并且包含有介質(zhì)電阻率信息：

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上述均勻介質(zhì)中的波阻抗也稱為介質(zhì)的特征阻抗，通常用Z₀表示。公式（1?2?41）表明，通過(guò)對(duì)地面電磁波的測(cè)量，可以求得介質(zhì)的電阻率。

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式（1?2?41）或（1?2?42）是在均勻各向同性大地介質(zhì)的條件下，地面電磁場(chǎng)的振幅測(cè)量值和介質(zhì)電阻率之間的關(guān)系式，也是大地電磁測(cè)深法中最基本的關(guān)系式，在以后討論非均勻介質(zhì)時(shí)還將用到，但那時(shí)必須賦以新的概念。