泰勒公式高考數(shù)學(xué)
泰勒公式如下:
泰勒(Tayloy)公式是微積分中的一個(gè)重要公式,也是進(jìn)行數(shù)學(xué)理論研究與計(jì)算的重要的工具,但大多數(shù)的高等數(shù)學(xué)教材中,對(duì)泰勒公式應(yīng)用的介紹都較少,導(dǎo)致學(xué)生難以掌握泰勒公式及其應(yīng)用技巧。
因?yàn)榈痛味囗?xiàng)式不能很精確的表達(dá)函數(shù),和作近似計(jì)算,所以遇到一些要求精確度高而且需要估算誤差的情況時(shí),就必須使用高次多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)函數(shù),同時(shí)給出相應(yīng)的誤差公式。泰勒公式是數(shù)學(xué)分析里面一個(gè)重要的部分方程,因此在數(shù)學(xué)里面有很高的地位。
泰勒展開式定義為若函數(shù)f(x)?在包含x0的某個(gè)開區(qū)間(a,b)上具有(n+1)階的導(dǎo)數(shù),那么對(duì)于任一x∈(a,b),有f(x)=f(x0)/0!+f'(x0)/1!*(x-x0)+f''(x0)/2!*((x-x0))^2+f(n)(x0)/n!*(x-x0)^n+Rn(x)。
其中,Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x0)^(n+1),此處的ξ?為x0?與x?之間的某個(gè)值。
擴(kuò)展資料:
泰勒展開式是數(shù)學(xué)分析中重要的內(nèi)容,也是研究函數(shù)極限和估計(jì)誤差等方面不可或缺的數(shù)學(xué)工具,集中體現(xiàn)了微積分“逼近法”的精髓,在近似計(jì)算上有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。利用泰勒展開式可以將非線性問(wèn)題化為線性問(wèn)題,且具有很高的精確度,因此其在微積分的各個(gè)方面都有重要的應(yīng)用。
泰勒展開式可以應(yīng)用于求極限、判斷函數(shù)極值、求高階導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)的數(shù)值、判斷廣義積分收斂性、近似計(jì)算、不等式證明等方面。
覺(jué)得她非常非常有范兒!維秘上霸氣十足。
在展開相同項(xiàng)數(shù)的情況下,x0離所要求的值越近則精度越高,否則就要靠展開更高次的項(xiàng)來(lái)提高精度。
你可以實(shí)驗(yàn)一下,畫出在某點(diǎn)展開一定項(xiàng)數(shù)的泰勒多項(xiàng)式和被展開的函數(shù),你會(huì)發(fā)現(xiàn)在這點(diǎn)附近兩個(gè)函數(shù)是基本重合的,越到兩邊離得越開。而增加多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)可以使重合部分延長(zhǎng)。
泰勒公式展開是:
泰勒公式是將一個(gè)在x=x0處具有n階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)f(x)利用關(guān)于(x-x0)的n次多項(xiàng)式來(lái)逼近函數(shù)的方法。
若函數(shù)f(x)在包含x0的某個(gè)閉區(qū)間[a,b]上具有n階導(dǎo)數(shù),且在開區(qū)間(a,b)上具有(n+1)階導(dǎo)數(shù),則對(duì)閉區(qū)間[a,b]上任意一點(diǎn)x,成立下式:
其中,f(n)(x)表示f(x)的n階導(dǎo)數(shù),等號(hào)后的多項(xiàng)式稱為函數(shù)f(x)在x0處的泰勒展開式,剩余的Rn(x)是泰勒公式的余項(xiàng),是(x-x0)n的高階無(wú)窮小。
實(shí)際應(yīng)用中:
泰勒公式需要截?cái)啵蝗∮邢揄?xiàng),一個(gè)函數(shù)的有限項(xiàng)的泰勒級(jí)數(shù)叫做泰勒展開式。泰勒公式的余項(xiàng)可以用于估算這種近似的誤差。
泰勒展開式的重要性體現(xiàn)在以下三個(gè)方面:
冪級(jí)數(shù)的求導(dǎo)和積分可以逐項(xiàng)進(jìn)行,因此求和函數(shù)相對(duì)比較容易。一個(gè)解析函數(shù)可被延伸為一個(gè)定義在復(fù)平面上的一個(gè)開片上的解析函數(shù),并使得復(fù)分析這種手法可行。泰勒級(jí)數(shù)可以用來(lái)近似計(jì)算函數(shù)的值。
泰勒展開式常用公式是f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+[f''(a)/2!](x-a)^2+……+[f(n)(a)/n!](a)(x-a)^n。
泰勒公式,是一個(gè)用函數(shù)在某點(diǎn)的信息描述其附近取值的公式。如果函數(shù)滿足一定的條件,泰勒公式可以用函數(shù)在某一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值做系數(shù)構(gòu)建一個(gè)多項(xiàng)式來(lái)近似表達(dá)這個(gè)函數(shù)。常用公式為f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+[f''(a)/2!](x-a)^2+……+[f(n)(a)/n?。?a)(x-a)^n。
在高等數(shù)學(xué)的理論研究及應(yīng)用實(shí)踐中,泰勒公式有著十分重要的應(yīng)用,簡(jiǎn)單歸納如下:
(1)應(yīng)用泰勒中值定理(泰勒公式)可以證明中值等式或不等式命題。
(2)應(yīng)用泰勒公式可以證明區(qū)間上的函數(shù)等式或不等式。
(3)應(yīng)用泰勒公式可以進(jìn)行更加精密的近似計(jì)算。
(4)應(yīng)用泰勒公式可以求解一些極限。
(5)應(yīng)用泰勒公式可以計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)的數(shù)值。
其實(shí)泰勒的身體素質(zhì)很一般,那么他是如何取得如此大的成就了。這就是他比較善于“以巧撥千斤”。泰勒比較討厭的一個(gè)概念是“公平競(jìng)爭(zhēng)”。他做每一件事,總是避免“公平競(jìng)爭(zhēng)”,而是努力創(chuàng)造一些工具和方法使自己處于比較有利的位置。
他打網(wǎng)球的時(shí)候?qū)iT給自己設(shè)計(jì)了匙型的球拍,打高爾夫的時(shí)候給自己設(shè)計(jì)了Y型球桿。泰勒就是通過(guò)改善效能,在自己能力沒(méi)有那么好的情況下,靠一個(gè)杠桿放大效能,戰(zhàn)勝比自己強(qiáng)大的對(duì)手。
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