孫柏林相聲

我們小學(xué)班和中學(xué)班的數(shù)學(xué)課，都是用孫映柏老師的陰陽(yáng)數(shù)學(xué)體系，來(lái)學(xué)習(xí)現(xiàn)代的數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科。

孫老師是一名數(shù)學(xué)教育家，有幾十年的數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，用“陰陽(yáng)”的理念把數(shù)學(xué)上很多說(shuō)不清的部分，清晰串聯(lián)起來(lái)了。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)亦是一種思維的學(xué)習(xí)，掌握知識(shí)是基礎(chǔ)，其中的奧秘得以貫通才真是其樂(lè)無(wú)窮。

01

小學(xué)數(shù)學(xué)中5×5表示什么？5個(gè)5相加的簡(jiǎn)便運(yùn)算，用乘法表示加法的計(jì)算方式，這是我的認(rèn)識(shí)。印象中，小學(xué)時(shí)學(xué)習(xí)乘法是這個(gè)思路，對(duì)乘法最直接的印象就是九九乘法表

孫老師教乘法，不背表，直接看。乘法不僅僅看做運(yùn)算方式，而是把代數(shù)與圖形結(jié)合在一起學(xué)。比如5×5，用方表示如下：

5?P（5,5）

0?1?2?3?4?5

（縱軸上也依次標(biāo)上0-5，在此略。）

用方來(lái)表示，5×5不僅僅是5個(gè)5相加，而是橫軸為5、縱軸為5形成的二維圖形。這個(gè)方包括25個(gè)1×1；由此而形成的方中還能找到其它乘法（4×5，,3×5，2×5等，乘法的積是可見(jiàn)的，不用背乘法口訣表。在練習(xí)中逐步熟悉，看到一個(gè)乘法時(shí)，自然的有一個(gè)方出現(xiàn)）；

再進(jìn)一步，定點(diǎn)P（5,5）這個(gè)抽象的點(diǎn)變得具體可見(jiàn)。當(dāng)然，今天的課堂上，并未標(biāo)出P（5,5），只是老師知道這個(gè)點(diǎn)的意義，并帶此意識(shí)。所以，孫老師說(shuō)：有方就有乘，有乘就畫(huà)方；乘法不背表，直接看。

這兩天的數(shù)學(xué)課，孩子們通過(guò)折紙、擺棋子、畫(huà)方幾種方法輕松的接觸乘法。課堂上，老師說(shuō)的、教的并不多，而是讓孩子在做中去尋找結(jié)果。

附上幾張老師的手稿，從中可以了解孫老師這樣教乘法，在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中貫穿的一致性：

不一樣的乘法表

02

小時(shí)候我們都是背乘法口訣表的，今天來(lái)看看，魔法學(xué)校的孩子們?cè)趺磳W(xué)乘法。

當(dāng)大國(guó)老師把“第三課?乘法表”寫(xiě)在黑板上時(shí)，有那么兩個(gè)娃娃可能在想：嗨，簡(jiǎn)單，我已經(jīng)會(huì)了。這兩娃不老老實(shí)實(shí)聽(tīng)，結(jié)果一做題，就“蒙嘎啦”。我無(wú)情地告訴他們：“再想想，有別的做法！”看他們埋頭皺眉的，臉上的表情也莊重了些，這就對(duì)了。

仍然是昨天那個(gè)5×5的方

5

5

? ?

10

? ?

15

? ?

20

? ?

25

? ?

4

? ?

8

? ?

12

? ?

16

? ?

20

? ?

3

? ?

6

? ?

9

? ?

12

? ?

15

? ?

2

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4

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6

? ?

8

? ?

10

? ?

1

? ?

2

? ?

3

? ?

4

? ?

5

? ?

0?1?2?3?4?5

（圖1 縱軸數(shù)字略）

大國(guó)老師給每個(gè)孩子準(zhǔn)備了一個(gè)直角三角板，先找4×5的方。先在橫軸上找到4，將三角板直角的一條邊比齊它，再找到縱軸上的5，將三角板直角的另一條邊比齊，直角兩條邊相交處為20，也就是說(shuō)4×5的積是20。直接看就能找到答案，是不是？孩子們做了幾個(gè)相似的練習(xí)后，現(xiàn)在，要檢驗(yàn)一下了：

0?1?2?3

（圖2，縱軸數(shù)字略）

3×3=9,在表中哪個(gè)格子里可以填上9呢？

應(yīng)該說(shuō)這個(gè)題還是有些抽象的，留意的話(huà)，可以覺(jué)察到它是圖1中的一部分。有意思的是，并沒(méi)有孩子從中照搬答案，而是依據(jù)自己的理解開(kāi)始填數(shù)。

類(lèi)似的練習(xí)做熟后，現(xiàn)在請(qǐng)他們自己在5×5的方里，填上所有數(shù)字。

說(shuō)實(shí)話(huà)，這個(gè)時(shí)刻讓人期待，孩子們也有些興奮，望著一張空表，這么多數(shù)字要填，可不是靠記憶能填得出來(lái)的。想想吧，這個(gè)做題的過(guò)程，孩子逐步的體會(huì)到數(shù)字排列的規(guī)律，心中越來(lái)越確信，而生出的喜悅。填完之后，還可以繼續(xù)玩，這張表里還有可發(fā)現(xiàn)的樂(lè)趣。

這樣學(xué)乘法是不是很酷？

認(rèn)識(shí)象限

03

今天星期一，數(shù)學(xué)課延時(shí)10分鐘下課，顯然沒(méi)出現(xiàn)什么星期一現(xiàn)象，孩子們?cè)谡n堂上循著大國(guó)老師的教學(xué)思路走，學(xué)得很過(guò)癮。他們學(xué)什么？先賣(mài)個(gè)關(guān)子，且看這兩節(jié)課如何一步步緊扣上的。

取張A4紙，沿橫、縱中線(xiàn)對(duì)折，這樣會(huì)得到一個(gè)直角坐標(biāo)。用鉛筆沿折線(xiàn)描線(xiàn)，在坐標(biāo)的四個(gè)方向相應(yīng)寫(xiě)：上、下、左、右。在交叉點(diǎn)寫(xiě)上“0”，并告訴孩子這是原點(diǎn)。沿逆時(shí)針?lè)较蛟谥苯亲鴺?biāo)的四個(gè)區(qū)域依次寫(xiě)上1、2、3、4，分別稱(chēng)之為第一、二、三、四象限。現(xiàn)在要區(qū)分它們四個(gè)區(qū)域的不同，如何用一種顏色區(qū)分？把2、4象限涂成深色即可。

現(xiàn)在知道了，在講象限。給二、三年級(jí)的孩子講象限？為什么？怎么講？孩子能懂嗎？這些問(wèn)題如果回到課堂，看著孩子們一步步做，也許就不會(huì)有過(guò)多困擾?？蓻](méi)親臨教學(xué)現(xiàn)場(chǎng)，恐怕難免都會(huì)驚訝，畢竟象限是中學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容。孫老師在玩什么？

備課時(shí)，孫老師要我們放下過(guò)往教學(xué)大綱帶來(lái)的思維慣性，不要牢記掛著這是小學(xué)、那是中學(xué)的內(nèi)容，要回到數(shù)學(xué)本身。這位老教師的大膽程度，可不是來(lái)自于他的玩心，而是來(lái)自于他多年對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)上的思考與探索，當(dāng)他體悟到越來(lái)越多的妙處時(shí)，陰陽(yáng)數(shù)學(xué)的框架像山間溪流，奔流不息，融匯貫通。

今天，這位年近八十的老教師，滿(mǎn)懷熱情地帶著我們備課，隨堂指導(dǎo)，看娃娃們輕松地學(xué)數(shù)學(xué)，是最令他振奮的事了。每天的課堂，是這位老先生最好的營(yíng)養(yǎng)素。

上個(gè)學(xué)期學(xué)習(xí)正負(fù)數(shù)運(yùn)算時(shí)，孩子們已經(jīng)熟悉了：下為陰，上為陽(yáng)；左為陰，右為陽(yáng)的表達(dá)?；氐较笙迊?lái)看，四個(gè)象限有第一象限為右上（陽(yáng)陽(yáng)，＋＋），第二象限為左上（陰陽(yáng)，－＋），第三象限為左下（陰陰，－－），第四象限為右下（陽(yáng)陰，＋－）。這些對(duì)孩子而言都不難，大國(guó)老師稍做啟發(fā)，孩子們自己能回答。

在坐標(biāo)上取點(diǎn)P（3,2），畫(huà)線(xiàn)，形成3×2的方，這個(gè)方的積是多少？如果忘了，娃們從之前做的乘法表中可以找到答案。講到這，大部分孩子都無(wú)隔地在課堂上掌握了學(xué)習(xí)內(nèi)容。

上節(jié)課，大國(guó)老師讓孩子們分別畫(huà)了在不同象限的方，并留下家庭作業(yè)，今天沒(méi)問(wèn)娃娃們完成得如何？進(jìn)入“點(diǎn)與方”的學(xué)習(xí)前，我心里還是在犯嘀咕的，孩子們能理解嗎？在某個(gè)點(diǎn)卡住了，怎么辦？可以說(shuō)，有擔(dān)憂(yōu)，又期待，更多的是期待。

進(jìn)入課堂，看娃們一小時(shí)四十分鐘在大國(guó)老師的引導(dǎo)下，一步步往下，跟著這個(gè)節(jié)奏，我隨時(shí)走到娃們面前看他們?nèi)绾巫鲱}，已全然忘了還有什么要擔(dān)憂(yōu)的。這堂課，可以感覺(jué)到孩子們做題做得很過(guò)癮。這就是孫老師指導(dǎo)的陰陽(yáng)數(shù)學(xué)課，這樣的數(shù)學(xué)課堂并不倡導(dǎo)老師多講授，而是要求老師稍作講解，適可而止，給孩子足夠的空間去想、去做。

這是今天課堂孩子們完成的學(xué)習(xí)內(nèi)容：

點(diǎn)

? ?

標(biāo)數(shù)

? ?

方

? ?

象限

? ?

陰陽(yáng)

? ?

積

? ?

P

? ?

（3,2）

? ?

3×2

? ?

1

? ?

+

? ?

+6

? ?

K

? ?

（-3,2）

? ?

-3×2

? ?

2

? ?

-

? ?

-6

? ?

A

? ?

（2,4）

? ?

2×4

? ?

1

? ?

+

? ?

+8

? ?

A’

? ?

（-2,4）

? ?

-2×4

? ?

2

? ?

-

? ?

-8

? ?

這就是在學(xué)乘法

04

和上學(xué)期一樣，一堂課，講課的老師有雙重身份。站在臺(tái)前，即是娃娃們的老師，給孩子們講課；又是孫老師的學(xué)生，接受孫老師的隨堂指導(dǎo)。下課后，孫老師邊走邊和聽(tīng)課的家長(zhǎng)聊天，大家聊得興致盎然。如果不是在課堂中，伴著娃娃們一分鐘一分鐘度過(guò)，看著他們一點(diǎn)點(diǎn)通過(guò)練習(xí)與老師引導(dǎo)，從不會(huì)到會(huì)；那么即使是數(shù)學(xué)不錯(cuò)的家長(zhǎng)，可能也難以將這堂課的內(nèi)容清晰地帶給孩子。一位爸爸課后感慨，上好這堂課，老師要清晰、嚴(yán)謹(jǐn)、形象。

當(dāng)講到這兒時(shí)：畫(huà)A（x,y）關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，A'(-x,y),?？?不變，?？相反?

娃們有些懵了?？袋c(diǎn)的標(biāo)數(shù)畫(huà)相應(yīng)規(guī)格的方，娃們基本上會(huì)了，昨天的家庭作業(yè)接著練習(xí)關(guān)于xy軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，可是講這里面蘊(yùn)含的規(guī)律總結(jié)成一句話(huà)的概念，在這兒有些接不上了。

孫老師果斷地走上講臺(tái)，讓大家站起來(lái)，平展手臂。

轉(zhuǎn)動(dòng)右胳膊至左邊，可以看到右手手心變手背（陽(yáng)變陰，+變-）；轉(zhuǎn)動(dòng)左胳膊至右邊，可以看到左手手心變手背（陽(yáng)變陰，+變-）。

反復(fù)做幾次，娃們的感受越來(lái)越清楚了，雖然一時(shí)說(shuō)不出來(lái)，但他們用身體覺(jué)知到：當(dāng)我們站立，平展手臂時(shí)，人就成為了直角坐標(biāo)，身體為y軸的話(huà)，y不變，x的陰陽(yáng)有變，正好相反。同此道理，運(yùn)用手臂上下擺動(dòng)，可以看到x軸上的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，x不變，y相反。

如果不是將小學(xué)到初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容熟稔于心，如果不是看到數(shù)學(xué)中的陰陽(yáng)變化一以貫之，孫老師也將難以帶娃們輕松的跨過(guò)這個(gè)卡點(diǎn)。正是因?yàn)閷O老師有這樣的底氣，相信基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的框架已在老師心里無(wú)數(shù)次切磋琢磨，他站在臺(tái)前的態(tài)度才這么篤實(shí)。也正是老師的這種態(tài)度，帶領(lǐng)老師家長(zhǎng)們重新學(xué)數(shù)學(xué)，帶領(lǐng)娃們不自覺(jué)地走上一條前所未有的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之道。

黃老師介紹了一種學(xué)習(xí)方法，向一位老師學(xué)習(xí)，首先學(xué)習(xí)他的思維方法。無(wú)疑，一位年近八十歲的老教師，在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)教育這條路上探索多年，老師長(zhǎng)久以來(lái)形成思維的方式，遠(yuǎn)不是我們通過(guò)現(xiàn)有的認(rèn)識(shí)，去分析思考再考慮就能完全明白的。

如果沒(méi)有對(duì)老師的信任，沒(méi)有將已熟悉的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)放下的勇氣，恐怕不在第五十次質(zhì)疑中退卻，就在第九十九次質(zhì)疑中退卻。

站在師范門(mén)口，我請(qǐng)教孫老師：這個(gè)版塊學(xué)習(xí)乘法，為什么講象限了？

孫老師說(shuō)：這就是在學(xué)乘法呀，四個(gè)象限，乘法中的各種變化都有了。

我明白了，我還停留在九九乘法表里，想著如何熟練地運(yùn)用乘法計(jì)算，而孫老師已將乘法放在二維空間，與未來(lái)要學(xué)習(xí)的函數(shù)融為一體，并開(kāi)始?jí)|定基礎(chǔ)了。

一步步做出來(lái)了

05

今天星期三，數(shù)學(xué)版塊進(jìn)入第二周第三天。前幾堂課圍繞象限展開(kāi)，第七堂課“方與乘”，且看娃們這堂課做了些什么。

一開(kāi)課，做一道練習(xí)題，根據(jù)點(diǎn)畫(huà)方：A（10,10）；B（+2,10）；C（10，+3）； D（+2，+3）。

為什么有的正數(shù)寫(xiě)正號(hào)，有的正數(shù)不寫(xiě)正號(hào)呢？昨天錯(cuò)過(guò)了數(shù)學(xué)備課，一看到這組數(shù)字，一時(shí)沒(méi)明白這份用意。大國(guó)老師叫來(lái)四位同學(xué)在黑板上畫(huà)出這四個(gè)方（圖一），這對(duì)孩子們而言比較容易，要注意的是橫、縱軸數(shù)的順序，別把橫軸x上的數(shù)寫(xiě)到縱軸上去了。

（圖一）

四個(gè)方畫(huà)好了，再請(qǐng)四位同學(xué)把不同規(guī)格方的積寫(xiě)出來(lái)（圖二）

（圖二）

最后請(qǐng)一位同學(xué)把四個(gè)方的積加起來(lái)。

好，第一部分完成得很順利。接下來(lái)很快的過(guò)這幾個(gè)題，為之后的運(yùn)算做個(gè)小鋪墊。孩子們接受得比想象中要快。

1×10＝10

2×10＝20

10×10=100

11×10=110

200×10=2000

接著再問(wèn)一次，圖二中四個(gè)方，它們的積之和是多少？不用四個(gè)方，一個(gè)方怎么做？（圖三，分步完成的圖）。畫(huà)方求和可以分幾步：

1、圖三有幾個(gè)方？

2、把四個(gè)方的積寫(xiě)出來(lái)。

3、算出它們的和。（100+20+30+6=156）

（圖三）

再看一個(gè)題：11×12=？ 看看詳細(xì)圖解，如下：

11×12=132，是不是一目了然？

乘法還可這么算：11×13=？?圖解如下：

娃們看著一步步最后得到答案，高興地說(shuō)：“好好玩！”又覺(jué)得驚奇：“真的做出來(lái)了！”

這堂課還沒(méi)完，趁熱打鐵，大國(guó)老師又結(jié)合數(shù)的陰陽(yáng)變化，出了帶負(fù)號(hào)的乘法題?？从械暮⒆泳尤豢梢郧宄膮^(qū)分（-2）+（-3）=（-5）和（-2）×（-3）=6，實(shí)在是沒(méi)法說(shuō)清孩子是怎么做到的，有孩子確實(shí)是做對(duì)了。下堂課講繼續(xù)練習(xí)鞏固。