怎么判斷奇偶性

奇偶性
1．定義

一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)

（1）如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。

（2）如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)。

（3）如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)同時(shí)成立，那么函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，稱(chēng)為既奇又偶函數(shù)。

（4）如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)都不能成立，那么函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，稱(chēng)為非奇非偶函數(shù)。

說(shuō)明：①奇、偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對(duì)整個(gè)定義域而言

②奇、偶函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，如果一個(gè)函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則這個(gè)函數(shù)一定不是奇（或偶）函數(shù)。

（分析：判斷函數(shù)的奇偶性，首先是檢驗(yàn)其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，然后再?lài)?yán)格按照奇、偶性的定義經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)、整理、再與f(x)比較得出結(jié)論）

③判斷或證明函數(shù)是否具有奇偶性的根據(jù)是定義

2．奇偶函數(shù)圖像的特征：

定理 奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖表，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸或軸對(duì)稱(chēng)圖形。
f(x)為奇函數(shù)《＝＝》f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
點(diǎn)（x,y）→（-x,-y）

奇函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)遞增，則在它的對(duì)稱(chēng)區(qū)間上也是單調(diào)遞增。
偶函數(shù) 在某一區(qū)間上單調(diào)遞增，則在它的對(duì)稱(chēng)區(qū)間上單調(diào)遞減。
單調(diào)函數(shù)
一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮：

如果對(duì)于屬于I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2,當(dāng)x1f(x2).那么就是f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)。

如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)。那么就說(shuō)函說(shuō)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，這一區(qū)間叫做y= f(x)的單調(diào)區(qū)間，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖像是上升的，減函數(shù)的圖像是下降的。

注意：（1）函數(shù)的單調(diào)性也叫函數(shù)的增減性；

（2）函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，它是一個(gè)局部概念；

（3）判定函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性的方法步驟有兩種主要方法：
1）定義法
a.設(shè)x1、x2∈給定區(qū)間，且x1
b.計(jì)算f(x1)- f(x2)至最簡(jiǎn)。

c.判斷上述差的符號(hào)。
2）求導(dǎo)法
利用導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行求導(dǎo)，然后判斷導(dǎo)函數(shù)和0的大小關(guān)系，從而判斷增減性，導(dǎo)函數(shù)值大于0，說(shuō)明是增函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)值小于0，說(shuō)明是減函數(shù)，前提是原函數(shù)必須是連續(xù)的。

奇偶性
1．定義

一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)

（1）如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。

（2）如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)。

（3）如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)同時(shí)成立，那么函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，稱(chēng)為既奇又偶函數(shù)。

（4）如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)都不能成立，那么函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)，稱(chēng)為非奇非偶函數(shù)。

說(shuō)明：①奇、偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對(duì)整個(gè)定義域而言

②奇、偶函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，如果一個(gè)函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則這個(gè)函數(shù)一定不是奇（或偶）函數(shù)。

（分析：判斷函數(shù)的奇偶性，首先是檢驗(yàn)其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，然后再?lài)?yán)格按照奇、偶性的定義經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)、整理、再與f(x)比較得出結(jié)論）

③判斷或證明函數(shù)是否具有奇偶性的根據(jù)是定義

2．奇偶函數(shù)圖像的特征：

定理 奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖表，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸或軸對(duì)稱(chēng)圖形。
f(x)為奇函數(shù)《＝＝》f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
點(diǎn)（x,y）→（-x,-y）

奇函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)遞增，則在它的對(duì)稱(chēng)區(qū)間上也是單調(diào)遞增。
偶函數(shù) 在某一區(qū)間上單調(diào)遞增，則在它的對(duì)稱(chēng)區(qū)間上單調(diào)遞減。
單調(diào)函數(shù)
一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮：

如果對(duì)于屬于I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2,當(dāng)x1f(x2).那么就是f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù)。

如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)。那么就說(shuō)函說(shuō)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，這一區(qū)間叫做y= f(x)的單調(diào)區(qū)間，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖像是上升的，減函數(shù)的圖像是下降的。

注意：（1）函數(shù)的單調(diào)性也叫函數(shù)的增減性；

（2）函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，它是一個(gè)局部概念；

（3）判定函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性的方法步驟有兩種主要方法：
1）定義法
a.設(shè)x1、x2∈給定區(qū)間，且x1
b.計(jì)算f(x1)- f(x2)至最簡(jiǎn)。

c.判斷上述差的符號(hào)。
2）求導(dǎo)法
利用導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行求導(dǎo)，然后判斷導(dǎo)函數(shù)和0的大小關(guān)系，從而判斷增減性，導(dǎo)函數(shù)值大于0，說(shuō)明是增函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)值小于0，說(shuō)明是減函數(shù)，前提是原函數(shù)必須是連續(xù)的。

判斷函數(shù)的奇偶性，
第一，要看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
第二，計(jì)算 f(-x) 并且 f(x)、-f(x)進(jìn)行比較，若與前者相等，則為偶函數(shù)，若與后者相等，則為奇函數(shù)，但是如果不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)，那么只要找出定義域中某一個(gè)點(diǎn)的值作為反例就行了，
關(guān)于此題，定義域已經(jīng)判斷好了，是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的，那只要做第2部分，
-1<=x<=1，x+2>0
f(x)=[√(1-x^2)]/(x+2-2)=[√(1-x^2)]/x=
f(-x)=[√(1-x^2)]/(-x)=-f(x)
所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，