格林公式的幾何意義是什么？

幾何意義不知道，物理意義了解一些。格林定理就是說一個平面場，里面有個閉合的路徑，那么，一個粒子，沿這個路徑逆時針轉(zhuǎn)一圈，場對這個粒子做的功，就等于，這個場的旋度的k分量（它是個標(biāo)量），在這個閉合路徑所圍成的區(qū)域內(nèi)，對面積的積分，或者說得更通俗一點就是把這個區(qū)域內(nèi)每個點的旋度的k分量加起來。還有一個散度和向外通量的關(guān)系，簡單來說，就是場從路徑邊界跑出去的速度（就像人群從超市出去一樣），等于，場的散度，在區(qū)域內(nèi)對面積的積分，也就是把各點的散度值加起來。比如說一秒，有10kg的場從路徑邊界跑出去，那么散度的和就是10kg/s。

是這樣的，函數(shù)P(x,y),Q(x,y)兩個函數(shù)構(gòu)成了格林公式的核心我們可以將兩個函數(shù)組裝為一個復(fù)向量，即一個新的函數(shù)，這樣就是2維平面上的每個點都對應(yīng)一個復(fù)向量這就像一個地圖上的水流流速圖（或者風(fēng)向圖，想想一張圖上布滿了小箭頭），如果我們說P，Q都是連續(xù)的，即地圖上的水流在相應(yīng)方向是連續(xù)的。有了這個有現(xiàn)實意義的理解我們就來看格林公式吧：這個東西是什么，他是復(fù)變函數(shù)W(x,y)的C-R方程。也許你不懂？那你知道一點就好了，如果這個東西等于0，則說明這個點以及周圍所有點都是是可導(dǎo)的（暫且先這么理解，不準(zhǔn)確）。所以積分結(jié)果就是所有不可導(dǎo)的點的C-R和。知道這些我們就可以說說格林公式的幾何含義了：P和Q組成了W，即一個水流流速圖。如果某個點水流的流速和周圍不是連續(xù)的，它就是一個出水口或者入水口，他的C-R方程值是流入流出水流的速度。格林公式就是這樣的：對于一個水流流速圖，區(qū)域內(nèi)所有出水口入水口的流入或流出的水的速度和，就是你在區(qū)域邊界所得到的流入或流出的水的速度和。用數(shù)學(xué)語言來講：對于一個有源流量場，其區(qū)域內(nèi)流量源流入流出速度的和，等于區(qū)域邊界流速的和。

我嘗試用我的方式來解釋格林公式，給出一個不一樣的理解角度。另外，有一個答主說格林公式用旋度來解釋，是我最贊同的，不過目前可能大家還沒有理解旋度的本質(zhì)，所以我先不引入旋度了。格林公式有點難以理解，因為它確實有些反直覺，“我們?yōu)槭裁茨軌蛴脙?nèi)部的情況來描述外圍的情況？”看到公式后很多人會產(chǎn)生這個疑問，公式是一步登天的，是對最終結(jié)論的簡潔描述，所以在我們得出結(jié)論之前，不妨先解決一個個的小問題，給自己搭一個個小臺階，最終完美的理解問題。數(shù)學(xué)如此，科學(xué)上任何事物皆是如此。所以在正式討論格林公式之前，我們先用語言來描述這個奇怪的公式：有一條光滑連續(xù)的封閉曲線L，這個L是封閉的所以肯定會圍成一個區(qū)域叫做D，同時這塊區(qū)域上存在著一個力場F，根據(jù)坐標(biāo)的不同力場中每一點都會收到力的作用，好，讓我們來提出一個問題，作為我們的目標(biāo)。請求出沿著曲線L的力們做的總功。這是一個很實際的問題，現(xiàn)實生活的運動中不可能永遠(yuǎn)是高中物理題中的直線運動或者完美的圓周運動，所以還沒有微積分的時候，這種問題都是難以解決的，而現(xiàn)在我們有了微積分這個武器，所以聰明的我們立刻想到了一個解決方案：把這個封閉曲線L分解成無數(shù)個小段，每個小段近似直線，在這條直線上的力F可以看成不變，求出每一段直線上的做功，然后在求一個和，問題迎刃而解！