函數(shù)的凹凸性是怎么定義的

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上定義，若對I中的任意兩點x1和x2,和任意λ∈(0,1)，都有[1]
f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2),

若不等號嚴格成立，即"<"號成立，則稱f(x)在I上是嚴格凹函數(shù)。
如果"<="換成">="就是凸函數(shù)。類似也有嚴格凸函數(shù)。[1]
設(shè)f(x)在區(qū)間D上連續(xù)，如果對D上任意兩點a、b恒有
f（（a+b）/2）<(f(a)+f(b))/2
那么稱f(x)在D上的圖形是（向上）凹的（或凹?。?；如果恒有
f（（a+b）/2）>(f(a)+f(b))/2
那么稱f(x)在D上的圖形是（向上）凸的（或凸弧）

幾何定義
編輯
這個定義從幾何上看就是：
在函數(shù)f(x)的圖象上取任意兩點，如果函數(shù)圖象在這兩點之間的部分總在連接這兩點的線段的下方，那么這個函數(shù)就是凹函數(shù)。[1]
直觀上看，凸函數(shù)就是圖象向上突出來的。比如

如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上二階可導(dǎo)，則f(x)在區(qū)間I上是凹函數(shù)的充要條件是f''(x)>=0;f(x)在區(qū)間I上是凸函數(shù)的充要條件是f''(x)<=0;[1-2]