五大圓冪定理

五大圓冪定理如下森嫌蠢：

定理內(nèi)容：過任意不在圓上的一點(diǎn)P引兩條直線L1、L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D（可重合，即切線），則有PA×PB=PC×PD ?？紤]經(jīng)過P點(diǎn)與圓心O的直線，設(shè)PO交⊙O于M、N，R為圓的半徑，則有PA×PB=PC×PD=PM×PN=(OP+R)│OP-R│=│OP2-R2│。

圓冪定理是一個總結(jié)性的定理，是對相交弦定理、切割線定理及割線定理（切割線定理推論）以及它們推論的統(tǒng)一與歸納。根據(jù)兩條與圓有相交關(guān)系的線的位置不同，有以下定理：

1、相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。

2、切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。

3、割線定理：從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于A、B；C、D，則有PA·PB=PC·PD。

從上述定理可以看出，兩條線的位置從內(nèi)到外，都有著相似的結(jié)論。經(jīng)過總結(jié)和歸納，便得出了圓冪定理。

圓冪定理證明：

相交弦定理。如圖，AB、CD為圓O的兩條任意弦。相交于點(diǎn)P，連接AD、BC，由于∠B與∠D同為弧AC所對的圓周角，因此由圓周角定理知：∠B=∠D，同理∠A=∠C，所以 △PAD∽△PCB。所以有：PA/PC=PD/PB，即：PA×PB=PC×PD 。

割線定理。如圖，連接AD、BC。可知∠B=∠D，又因?yàn)椤螾為公共角，所以有△PAD∽△PCB，同上證得 PA×PB=PC×PD。

切割線定理。如圖，連接AC、此陪AD?！螾AC為切線PA與弦AC組成的弦切角，因此有∠PAC=∠D，又因?yàn)椤螾為公共角，所以有△PAC∽△PDA ，易證PA2=PC×PD。者升

PA、PC均為切線，則∠PAO=∠PCO=直角，在直角三角形中：OC=OA=R，PO為公共邊，因此 △PAO≌△PCO。所以PA=PC，所以 PA2=PC2。

綜上可知，PA×PB=PC×PD 是普遍成立的。證明完畢。